Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
относительно конечной группы преобразований, не превышает порядка этой
группы.
Построение ЦРБИ для структурного перехода в соединениях С-15. Построим
ЦРБИ для группы О^ фазовый переход из которой идет по представлению г 7 с
к = 0. Начнем с нахождения ядра гомоморфизма представления т7. Матрицы
нулевого блока представления т7 приведены в § 11, откуда видно, что ядро
гомоморфизма Н в нашем случае совпадает с пространственной группой С/.
Действительно, матрицы представления г7 для элементов {h t1 0 }, { h 2 s
I т }, { h 11 tn } , где tn - любая трансляция, а г - нетривиальная
трансляция, совпадают с единичной. Точечная группа /, изоморфная фактор-
группе Gц, задается набором из 24 различных матриц представления г7 и,
как можно легко убедиться, совпадает с точечной группой Td. Обозначим
через a j элемент группы l-Тд, заданный матрицей/?^,) представления т7.
Например, элемента5 отвечает матрице
Xp = Zxp(.g), g?G,
(12.22)
8
(12.23)
§ 13. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЦРБИ
представления г 7.
90
Следующий шаг, согласно изложенной схеме построения ЦРБИ, состоит в
разложении группы Td в нормальный ряд:
/эс, dg2 dg3 :c4=f, 1=ТФ с, = т, g2 =d2, g3=c2. (13.1)
Члены нормального ряда можно выбрать в виде
G3 ~ С2 - {at, а2), G2 = D2 - С2 + а3С2,
(13.2)
G, = Т- D2 + a$D2 + agD2, I = Td = Т + ai3T.
Сначала найдем ЦРБИ для группы G3 = С2. При этом будем учитывать, что,
согласно теореме Нётер, максимальная степень полиномиальных инвариантов,
входящих в ЦРБИ, не превышает порядка группы A'(G3 = С2) = 2.
Обозначим переменные, преобразующиеся по представлению т7, через 4i , Ч2"
Чз- Подействуем оператором а2 на эти переменные: а2 (т7Х, г\2, rj3) = =
(Чь -42, -Чз). Введем переменные их = г?2, и2 = - rj х, v х = г?3,у2 = =
- Чз и обозначим т]х = /1>3. Согласно теореме 1 ЦРБИ для группы G3 можно
записать в виде
А,з = 4 1. /2,3 =т?2, ^з,з = Чз, /4,3 = ЧзЧз- (13.3)
Построим теперь ЦРБИ для группы G2 = D2 = С2 + д3С2. Заметим, что "з
(т?х, т?2 ,Чэ) = (~4i, Чг, -Чз)- Тогда из (13.3) имеем д3/1>3 = -/1>3,
"эА.з = /2,3, "3/3,3 = /3,3, "3/4,3 = -/4,3 • Вводим переменные их
= /1>3,
"2 = -/1,3, и 1 = /4,3, v 2 - -/4,3- Из теоремы 2 получаем ЦРБИ для
группы G 2:
/1,2= Чь /2,2=172. /3,2 = ч?з. /4,2 =i?ii72i?3- (13.4)
Следующий этап - построение ЦРБИ для группы G3 = D2+a sD2+a gD2. Так как
д5(Ч1"Ч2, Чз) = (i?2, Чз, 4i ) и д9 (ть, Ч2, Чз) = (Чз,4i, Ч2), то из
(13.4) следует
"5/1,2 =/2,2. "5/2,2 =/3,2. "5/3,2 =Л,2- "5/4,2 =/4,2.
Д9 А 2 = /3 2> "9/2 2 ~ /1 2" ,2 - /2 ,2* "9/4 ,2 /4 ,2 •
Обозначим = /j 2, "2 - /2,2. "з = /3,2 и> согласно теореме 2, получаем
ЦРБИ для группы G 3:
Л,1 =41+172 + Чэ, /2,1 = 4i4243, /3,1 = 4i42 + Ч1Ч3 + Ч2Ч3.
/4,1 = Ч?ч1(Ч? -ч!) + ч2чЗ(ч! -Ч?) + чЗ 17?(г?! -Ч?).
Наконец, построим искомое ЦРБИ для группы Td = Т+а13Т. Так как "13 (4i,
Чз, Чз) = (Чг, 4i, 4з), то, согласно (13.5),имеем: д,3A,i_ = Ад , "13/2,1
= /2,1, "13/3,1 - /3,1, "13/4,1 = -/4,1-Обозначая и, =/4>1 и "2 = "13/4,1
= -/4,1, получаем еще один инвариант группы 7^: Л* = /4,1 (наряду с тремя
имеющимися: А = А, 1, /2 =/2,1 и /3 = h, 1) • Этот инвариант не входит в
ЦРБИ, так как он приводим. Действительно, предположим, что инвариант/4 =
A2,i не является самостоятельным, т.е., что он полиномиально выражается
через инварианты /х, /2 и /3. Учитывая степени всех четырех инвариантов,
напишем эту связь в общем виде с некоторыми коэффициентами, подлежащими
определению:
/4 =AI\ + Bl\l3+Cl\l\ + DI\I\ +EI\ + Fl\ + GIXI\I3.
91
Используя явный вид инвариантов и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях базисных функций, получим А = О, В = О, С = -4,D= 1, Е = -15,F =
2, G = 2, так что
U =/]/! - 41\1\ + 2/,/1/3 + 2/1 - 15/t Таким образом, ЦРБИ задачи состоит
из трех инвариантов:
h =vl +vl +Пз, h =ThThf?3, h = r?if?2 +vlvl- (13.6)
Сравним этот вывод с результатами прямого расчета полиномиальных
инвариантов для той же задачи, проведенного в § 11. Как видно из формулы
(11.11), прямой метод дает в членах инвариантного разложения потенциала
Фвсего четыре инварианта. Три из них совпадают с ЦРБИ, а четвертый
происходит от квадрата наинизшего инварианта 1\.
Построение ЦРБИ для структурного перехода в соединениях А-15. Построим
ЦРБИ для группы Off из компонент параметра порядка, преобразующихся по НП
г 5 с к ~ 0.
Инвариантное разложение термодинамического потенциала до четвертой
степени по г? было построено нами для этого случая прямым методом в § 11.
Сейчас мы покажем, что из найденных там трех инвариантов два первых,
определяющихся соотношениями (11.13) и (11.14), образуют ЦРБИ
рассматриваемой задачи.
Выпишем шесть различных матриц представления г 5 группы Of, которые
образуют/-группу (табл. 2.5) :
/п "Л /п ег\ /п Л
(13.7)
Нетрудно простым перемножением матриц составить квадрат Кэли для этой
группы:
а 1. а2 03 04 05 06
а2 03 04 05 06
и2 ч2 а3 0i 05 06 04
а3 аз "1 02 06 04 05
а4 а4 а6 05 01 03 02
as as 04 06 02 01 03
а6 а6 "5 04 03 02 01
(13.8)
