Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения состояния, отвечающие более высоким значениям п. Напротив,
обрыв ряда для Ф приводит к потере некоторых решений соответствующего
(ns) типа, описывающих переходы первого рода.
Возвращаясь к исходным обозначениям а 1 -г, а2 -и,а3 = ии т.д.
термодинамического потенциала (16.1) и сравнивая выражение (16.33) с
решением (16.2) в модели т?4, видим, что решение (16.5) уравнения
состояния в модели ч6 происходит из единственного решения (16.2)
уравнения состояния предыдущей модели ч4- Решение же (16.6) - качественно
новое, и полностью обязано учету более высокой степени в разложении
потенциала по параметру порядка ч-
§ 17. ДВУХКОМПОНЕНТНЫЙ ПАРАМЕТР ПОРЯДКА
Модель ч4 • Особенное(tm) фазовых переходов, связанные с двухкомпонентным
параметром порядка, изучим на примере систем, характеризующихся
потенциалом вида
Ф = г(ч2 + ч!) + м 1 (r?t +44) + "24i Ч? • (17.1)
Это наиболее простой и в то же время достаточно общий потенциал, который
может возникнуть при описании фазового перехода, идущего по двумерному
представлению многих пространственных групп, характеризующих исходную
фазу.
В отличие от однокомпонентного параметра порядка, в данной ситуации могут
возникнуть не одна,а несколько диссимметричных фаз,различающихся по
симметрии. Эти фазы отвечают различным решениям уравнений состояния,
возникающих в процессе минимизации потенциала. Для потенциала
(17.1) этих уравнений будет два:
$4, tt^nilr*2uini'*U2nl] = 0," 2Чг[г + 2м,ч1 +и2Ч?1 =0. (17.2)
Как было детально описано в,гл. 3, возможным диссимметричиым фазам
соответствуют различные типы коэффициентов смешивания базисных не
функций ответственного НП.- Поскольку коэффициенты смешивания и являются
параметрами порядка, симметрия фаз определяется типом решения (rj, 1,2)
уравнений минимизации. В нашем примере, кроме исходной фазы, где г?) =т)г
=0, возможны тридиссимметрнчные фазы, которые Зададим тремя типами
решений:
0(7,0); 2) (т| г?); 3)(т,,т?2). (17.3)
(Символ (i,i т,2) означает, что т,, Ф г)7 Ф 0.) Исходную фазу будем
обозначать 0. Однако легко видеть, что система уравнений (17.2) не имеет
решения типа (т,! т,2). В самом деле, составляя разность уравнений (17.2)
(предварительно сократив уравнения на множители 7,1 и Vi), получим
соотношение (2щ - т,|) = 0, которое удовлетворяется, только
если т,! "7,2. Таким образом, при произвольных и, и и2 возможны только
решения первого и второго типов, перечисленных в (17.3).
Рассмотрим фазу ], Уравнения состояния сводятся к одному уравнению
г + 2м 2 т,2 = 0, (17.4)
откуда находим т,2 = г /2",, так что параметр порядка оказывается
действительным при выполнении одного из условий:
г>0, м,<0или/-<0, ",>0. (17.5)
Найдем область устойчивости фазы 1, для чего вычислим вторые производные
потенциала (17.1):
'ФП,П, = 2(r + 6ulT}\+U2n\), ФГ),Г)2 = фпгч, = 4M2T7tT?2, (17.6)
фт)2 л 2 = 2(r + 6utvl +u2v i)-
Подставив в (17.6) решение 7,t = т,, т,2 = 0, запишем условие
устойчивости (см. (15.3)):
2(г + ви1г)2) 0
0 2(г + и2т]1)
из,которого Следуют два неравенства-r + 6uxti2 >0, г + и2г]2 >0.
Если подставить сюда выражение для т?, определив его из уравнения
состояния (17.4), то эти неравенства можно свести к двум следующим:
0, г[(2"! г и2)/2их] >0. (17.8)
Совокупность условий устойчивости (17.8) и действительности (17.5) дает
окончательный ответ: фаза Г имеет область устойчивости действительных
решений, задаваемую неравенствами (рис. 5.9)
/¦<• 0, их>0, 2и,-мг<0. (17.9)
Рассмотримфазу2,характеризующуюся типом решения (т,т,). Уравнения
состояния (17.2) и в Этом случае сводятся к одному уравнению
t + (2ы, +ы2)т,2 "0. (17.10)
117'
1( г + 6и1г}2)> 0,
>0, (17.7)
Условие устойчивости
8m,tj >0,
>0 (17Л1)
8м, tj2 4m2j?2
4m2tj2 8m,j?2
сводится к двум неравенствам
Mi >0, (2м, -м2)(2м, + м2)>0. (17.12)
Условие действительности решения уравнения состояния (17.10) имеет вид
r>0, 2mi+m2<0 или г<0, 2Mi+м2 > 0. (17.13)
Окончательно, область устойчивости действительных решений для фазы 2
ограничивается неравенствами (рис. 5.9)
г<0, м, >0, -2м, <м2 <2м,. (17.14)
Завершая построение фазовой диаграммы, посмотрим,какие дополнительные
ограничения на области устойчивости фаз может наложить требование
положительной определенности потенциала (17.1). В соответствии с
рекомендациями § 15 положительная определенность потенциала (17.1)
определяется положительной определенностью четверной формы Ф4:
Ф4 =м,Л4(т?',4 +т?24) + м2Л4(т?',2 т?22).
Требование положительной определенности Ф4 в свою очередь сводится к
исследованию знака Ф4 в точках минимума на круге единичного радиуса 1?12
+1?22 = 1 (§ 15). Эти минимумы находим из условия ЭФ4 /Эт?,- = 0, где
Ф4(д) = Ф4 +д(т?{2 +т}22 - 1). Уравнения имеют три решения: (т?(о0 ), (0
т?2о), 0?ш 4 Яго)- Подставляем каждое из решений в Ф4 • В случае решений
типа (т/, о 0) или (0т?20) д = -2м,/?2, rj20 = 1, Ф4 (т/10) = /?4м,. Из
условия Ф4 (д) > 0 находим, что коэффициент м, должен быть положительным,
м, >0.Решение (t?'io,±t?20) даетФ4(т?',о,±т?20)=/?4(2м, +м2)/4, откуда
