Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
находим второе неравенство: 2м, +м2 >0. Таким образом, совокупность
неравенств м, > 0, 2м, + м2 >0 определяет область положительной
определенности потенциала (17.1). Эта область выделена на рис. 5.9
двойным штрихпунктиром. Таким образом, в данном примере область
положитель-
Рис. 5.9.Фазовая диаграмма для модели rf с двухкомпонентным параметром
порядка.. Штриховая линия - фазовый переход второго рода, штрихпуиктир --
линии локальной устойчивости фаз, двойной штрихпуиктир - линии
положительной определенности потенциала Ф.
Рис. 5.10. Области устойчивости фаз на плоскости (г, м2) в модели г)4;
штриховая линия - фазовый переход второго рода, штрихпунк-тир - граница
устойчивости фаз.
-ги,
го,
i Фаза 2 i Фаза /
ной определенности Ф не изменяет области существования фаз, полученные из
условий локальной устойчивости. На плоскости (г, и2) области устойчивости
обеих диссимметричных фаз показаны на рис. 5.10.
Модель т?4, как видно из полученных результатов, не описывает переход
между фазами 1 и 2. Действительно, фазы 1 и 2 имеют общую плоскость 2и1 -
и2 =0, на которой нарушаются их условия устойчивости. Можно ожидать, что
линия фазового перехода 1 +* 2 лежит в этой плоскости. Эта линия должна
находиться из условия равенства потенциалов двух фаз Ф(рj = г?, г?2 = 0)
= Ф(т?1 = г), 1?2 = г?), которое после подстановки решений уравнений
состояния (17.4) и (17.10) принимает вид
(г/4м 1) [(2м! -и2)/(2и, + м2)] =0.
Это равенство не дает нам выражения для линии переходов, т.е. связь
температурно зависящего коэффициента г с другими параметрами щ, и2 .
Решить вопрос о возможности фазового перехода между фазами 1 и 2 можно,
только выходя за рамки модели г?4, т.е. добавляя в потенциал члены более
высокого порядка.
Модель т?6. Учтем теперь в потенциале (17.1) члены шестого
порядка,которые запишем в виде (т??+ rfc)3 и (т?\ + т?2) т?2 т%. Такой
вид отвечает предположению, что ЦРБИ для потенциала содержит лишь два
инварианта: rj\ +гЦ и т7) гй- Заметим также, что член четвертого порядка
в (17.1) 17? +1?2 может быть выражен через эти же два инварианта. Можно
существенно упростить промежуточные выкладки и придать более Симметричный
вид фазовой диаграмме, если переписать получающееся таким образом
выражение для Фв эквивалентной форме:
Ф = г(т}\ +1?1) + м1(1?? +1il? + м2 [(t?j - т?1 )2 - 4 т?2 г?1] +
+ Vi0?i + т?|)э +u2(t?i +nl) [(Г?? - rt\f - т??]. (17.15)
Для анализа подобных выражений, являющихся симметричными относительно
замены г? ( ** т?2, удобно ввести тригонометрические переменные
г?! = г? cos ф, т?2 = т? sin ф, (17.16)
через которые Ф выражается следующим образом:
Ф=гт?2 + и j 174 +"2i74cos4i^ + u1 ij6 +u2i76cos4i^. (17.17)
Требование положительной определенности потенциала (17.15), (17.17)
приводит к ограничениям на значения коэффициентов v t и v2: о, > 0,
-U) <V2 <Vi-
Построение фазовой диаграммы начнем с анализа уравнений состояния Ф,, =
2г? [г + 2("i+м2 cos 4ф) г?2 + 3(ui +и2 cos 4ф)г?41 = 0, (17.18)
Фу> = 4т?4 sin4ф(м2 + и2т?2) = 0. (17.19)
119
Из второго уравнения состояния (17.19) следует, что либо sin4</> = О,
либо м2 + и2 г/2 = 0. Случаю sin 4^=0 отвечают две фазы
cos 4ф = + 1, tj ^=0 (фаза1+); cos4</> = - 1,tj#0 (фаза 1"), (17.20)
а случаю и2 + v2r? = 0 отвечает одна фаза:
sin4^^=0, г? Ф 0 : (фаза 2). (17.21)
• Исследуем сначала фазу 2. Как видно из уравнений (17.18), (17.19),
добавление инвариантов шестой степени в термодинамический потенциал
впервые позволяет получить низкосимметричное решение общего типа.
Действительно, уравнения (17.18), (17.19) имеют решения
т?2 = -u2fv2, cos 4ф= - rv2/u] + 2м, /и2 - 3vl/v2, (17.22)
соответствующие фазе 2. Условие устойчивости ФЧп Ф")?>
>0 " (17.23)
сводится к неравенству т?6 sin2 4<р < 0, которое не. выполняется, при
действительных 17. Таким образом, фаза 2 в модели г?6 не имеет области
устой; чивости. Впервые на фазовой диаграмме фаза 2 появится только в
следующей модели г?8.
Рассмотрим теперь фазы 1+ и 1". Уравнения состояния сводятся к одному
г + 2и т?2+3(л?4=0, (17.24)
где и = щ ± и2, v = п, ± v2; знаки ± отвечают фазам 1+ , 1 ~
соответственно. Условие устойчивости (17.22) для каждой из фаз состоит из
двух неравенств;
гГ+31л72>0, и2 + и2772 <0. (17.25)
Уравнение состояния (17.24) с точностью до замены переменных совпадает с
уравнением (16.4) для однокомпонентного параметра порядка, поэтому мы
можем воспользоваться результатами анализа фазовой диаграммы для
однокомпонентного параметра порядка. Фазовую диаграмму будем рисовать в
переменных г и и2. Коэффициент м2 стоит при анизотропном инварианте
четвертой степени и следует ожидать, что его знак и величина могут
существенно влиять на протекающие в системе фазовые переходы. На рис.
5.11 штрихпунктиром нанесены линии устойчивости фаз 1+ и 1", полученные
из первого условия устойчивости (для случая и, >0).
Область устойчивости фазы 1 * определяется неравенствами
м, +и2 <0, r<(ux +м2)2/3(у, + v2); м, +и2 >0, г<0. (17.26)
