Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
На пересечении строки и столбца здесь записан элемент, являющийся
произведением элементов, отвечающих данной строке и столбцу. Из квадрата
Кэли видно, что элементы а2 и а3 - третьего порядка, а элементы в4, а5 и
а6 - второго порядка, поскольку
а\ =а\-ах, а\ =а! =а\ =д,. (13.9)
/-группа (13.7) изоморфна точечной группе C3v. Действительно, группа С3и
содержит два элемента третьего порядка Н3 и Я5 (вращения вокруг оси 3) и
три элемента второго порядка Яi9, Я21 ,Н.2з (плоскости отраже-
92
ния, проходящие через ось 3) .'Если обозначить элементы группы Сз"
символами
а\ -Hi, д2 =Нз, а3 -Hs, Д4 -Н19, Д5 -Нц, а^ - Н2з,
то нетрудно убедиться, что квадрат Кэли для группы С3и совпадает с
(13.8), что и доказывает изоморфность обеих групп.
Рассмотрим циклическую подгруппу
Gi = {"1, Дг. аз ) (13.10)
и разложим группу / по смежным классам:
I = Gt +a6Gi = G, +Gia6. (13.11)
Группа Gi, таким образом, является нормальной подгруппой группы I.
Построим сначала инварианты для группы Gi. Поскольку порядок группы G1
равен трем, степень полиномиальных инвариантов для нее не превышает трех,
в силу теоремы Нетер. В этой ситуации целесообразнее всего найти их
прямым методом, как это делалось в § 11. Три наинизших инварианта группы
G1 есть
¦Л =i?i"?2, J7 =V3i, J3 = Ц\-~ (13.12)
Теперь подействуем на них элементом-представителем д6, учитывая, что
"б*?1 = Чг, < Vi = Vi'-
a6Ji =JU a6J2 =J3, a6J3 =J2.
Первое соотношение указывает, что величина 1\ = /] является инвариантом
группы /. Введем обозначения:
и 1 ~ J2 > Д2 ="6^1 ~ J3 > V1 ~ J31 п2 = Д6/3 ~ j2 ¦
Согласно теореме 1 § 12 инвариантами группы/должны быть величины
и| +"2 =J2 +/3. и\иг =JiJ3, UiV2 +ы2и 1 =j\ +J3.
(Другие возможности, перечисленные в этой теореме, приводят к этим же
инвариантам!) Обозначим один из полученных инвариантов /2 = /2 + /3.
Легко видеть, что два других выражаются через /( и /2:
Л+Я=П -2/1
Таким образом, независимыми являются два инварианта
Л =VtV2. h = 4t +vl, (13.13)
которые и образуют ЦРБИ. Сравнивая этот вывод с результатами § 11
(11.14), убеждаемся, что инвариант четвертой степени сводится к Jj, т.е.
не входит в МЦРБИ.
.Построение ЦРБИ для структурного перехода в МпА". Два предыдущих примера
иллюстрируют построение ЦРБИ из компонент параметра порядка,
преобразующихся по НП с к = Q. В качестве примера нахождения ЦРБИ из
компонент параметра порядка, описывающего переход с к Ф 0, построим ЦРБИ
для структурного перехода в MnAs. Этот переход описывается одномерным НП
7-4 группы волнового вектора звезды (Л12) гексагональной решетки исходной
фазы D%h [9]. Звезда (Л12} - трехлучевая, поэтому для нахождения /группы
необходимо сначала из малого представления т4 индуци-
93
ровать по формуле (2.7) матрицы размерности 3X3 большого представленю
тА{к\2).Простые расчеты показывают, что большое представление тА{к\2,
состоит из 48 различных трехмерных матриц, следовательно, /-группа, изо
морфная фактор-группе G и, построенной на ядре гомоморфизма Я, совпа дает
с точечной группой Oh.
Нормальный ряд для группы / = Oh имеет вид IDGi ЭС2 DG3 ЭС4 DCS =?¦.
I=Oh, Gt =0, G2 = T, G3 =D2, Ga=C2. (13,14)
Члены нормального ряда (13.14) выбраны в виде
GA а2}, G3 = Ga + e3G4, G2 = G3 +a$G3 + a9G3,
r -r r 1-r + " г (13.15)
Gi - G2 + a13G2, I-Gx +Д25Gj.
Матрицы,отвечающие элементамal,a2,a3,as,a9,ai3,a2s,vuA&oTBViR
/0-1 0 a\ з| -1 0 0
Vo о-i
/0 1 ON
"5 о 0 1 ,
\1 О 07
(13.16)
Пользуясь теоремами § 12, находим вид инвариантов, образующих искомое
ЦРБИ:
Л-= п\ +vl +V3, h =nivi +V1V3 +V2V3, h =??ir?243. (13.17)
Из рассмотренного примера видно, что процедура построения ЦРБИ в случае к
Ф 0 (для симметричных точек зон Бриллюэна) практически ничем не
отличается от случая к = 0.
§ 14. ОБРАЗЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ И ВИДЫ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ
ПОТЕНЦИАЛОВ
Общая информация об /-группах. Теоретико-групповой анализ фазовых
переходов сводится, как мы видели, в большей части к исследованию
соответствующих НП исходной группы симметрии. Как было показано в § 12,
набор различных матриц НП образует некоторую абстрактную /группу. Впервые
важная роль этих групп в теории фазовых переходов была отмечена в работе
[5], где они были названы L -группами.
Мы видели, каким образом с помощью /группы данного НП можно построить
полиномиальные инварианты, составленные из компонент параметра порядка,
т.е. найти вид термодинамического потенциала. Другое значение /групп,
также впервые отмеченное в работах [5, 10], состоит в том, что с их
помощью можно по-другому решить проблему перечня всех дис-симметричкых
фаз, могущих появиться в результате фазового перехода по данному ЦП.
Раньше нам уже приходилось сталкиваться с этой проблемой в гл. 3. При ее
решении мы исходили из реальной симметрии кристалла, рассматривая все
подгруппы пространственной группы исходной фазы. Из условия
94
инвариантности функции плотности 5р диссимметричной фазы по отношению к
одной из подгрупп находились соотношения на коэффициенты смешивания т?х
