Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
третьего порядка имеет вид
P3=v\+ril (11-14)
Для полинома четвертого порядка
Р4 =ихгй +и2п2 +ц3г??г?| +M4r?fr?2 +MS"?1'?2
действие элемента hX4 дает м, =?w2 им4 =м5. Действуя на полученный
полином элементом hs, находим дополнительно и,=0 и м4 = 0. Полу-
\
83
чаем единственный инвариантный полином четвертого порядка
(11.15)
Таким образом, с точностью до четвертой степени инвариантное разложение
термодинамического потенциала есть
Ф = Л-Т7,Т72 +u(t7i + (11.16)
Очевидно, что линейным преобразованием квадратичный член можно привести к
диагональному виду, так что в новых переменных вид всех инвариантов
перестраивается. Итак, перейдем от набора переменных rjx к другому набору
(т? = 1/?) с помощью унитарной матрицы U:
l/=(l/x/2)jj (11.17)
Явный вид этого линейного преобразования
т?1 =(1/V2)(?i -гЪ), V2 =(1A/2)(?i +ifa) (11.18)
показывает, что, выражение для Ф остается вещественным, если ^ и являются
вещественными величинами. Они и могут служить параметрами порядка для
соответствующей физической системы. В этих переменных выражение (11.14)
принимает вид
Ф = КЙ + $) + "'(Й -3?1Й) + "'(11 +Й), (11.19)
где г, v' и и' -некоторые вещественные коэффициенты.
§ 12. ЦЕЛЫЙ РАЦИОНАЛЬНЫЙ БАЗИС ИНВАРИАНТОВ
Общие замечания. Феноменологическая теория Ландау предполагала
исследование оборванного ряда для разложения термодинамического
потенциала по степеням параметра порядка, причем для большинства решаемых
задач достаточно было учитывать степени не выше четвертой. В то же время
в дальнейшем мы встретимся с примерами, когда для полного
термодинамического анализа фазового перехода необходим учет высших членов
в разложении. Наиболее типичные погрешности модели -7J4, как мы увидим в
следующей главе, состоят в потере некоторых низкосимметричных решений
уравнений, минимизирующих энергию. Такие решения представляют часто не
только теоретический, но и практический интерес, например в
приборостроении, поскольку низкосимметричные состояния, как правило,
очень чувствительны к внешним воздействиям. С другой стороны, как мы
увидим, для построения полной фазовой диаграммы системы и анализа
устойчивости всех ее фаз необходим учет более высоких членов разложения.
Встает, таким образом, задача о построении полиномиальных инвариантов
пятой, шестой и т.д. степеней. Как видно из стандартного метода,
изложенного в § 11, объем вычислений, необходимых для построения
полиномиальных .инвариантов, резко возрастает с увеличением степени
полиномов, поэтому необходимо иметь более, эффективный метод, позволяющий
уяснить одновременно и структуру всего 'ряда, в частности указать число
независимых инвариантов данной степени.
84
В конце прошлого и в начале этого века немецкими математиками Гордоном,
Гильбертом, Вейлем, Нетер и др. было доказано, что для определенных
абстрактных групп (к числу которых, оказывается, принадлежат и
пространственные группы кристаллов) существует конечная совокупность
независимых полиномиальных инвариантов, через которые любой инвариант
может быть выражен как рациональная функция инвариантов из этой
совокупности, получившей название целый рациональный базис инвариантов
(ЦРБИ). Проблема построения полного ряда для термодинамического
потенциала сводится, таким образом, к построению ЦРБИ для группы симметрш
исходной фазы.
Абстрактная теория ЦРБИ изложена в более доходчивой для физиков форме в
книге Спенсера [1]. Большой вклад в разработку и применение методов ЦРБИ
внесли многочисленные работы Смита и Ривлина [2], Грина и Адкинса [3]. В
[3] построено ЦРБИ для точечных групп кристаллов из компонент полярного
вектора и тензора второго ранга, в [4] сделано то же самое для
аксиального вектора, в [1] приведено большое количество различных
примеров. Построение ЦРБИ для пространственных групп кристаллов впервые
выполнено Гуфаном и Сахненко [5, 12] и Мишелем и Моржимасом и др. [6,12,
13,19]. Ниже излагается рабочая схема построения ЦРБИ, удобная для работы
с пространственными группами [7].
Алгоритм построения ЦРБИ. Центральным понятием теории является понятие
ядра гомоморфизма. Пусть задано одно из представлений ЕР группы G. Это
значит, что каждому элементу g, принадлежащему группе G, поставлена в
соответствие некая матрица EP(g). Единичному элементу сопоставляется
единичная матрица размерности Выберем теперь из всех элементов gгруппы G
те, матрицы которых в представлении Л".совпадают с единичной. Данную
совокупность элементов группы G обозначим Я - она является нормальным
делителем группы G (т.е. H<XG), который и называется ядром гомоморфизма
представления Dv. Разложим теперь группу G в смежные классы по подгруппе
Я:
G = Х#,Я = 'LHgi. (12.1)
*' i
Здесь gj - представители разложения. Смежные классы а, = gfl группы G
образуют фактор-группу GH = G/Я, построенную на ядре гомоморфизма Я
представления Dv. Каждому элементу at ставим в соответствие матрицу
Dv(gj) и получаем, таким образом, неприводимое представление Dv группы
