Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
ответственному за изменение симметрии при фазовом переходе.
Полином Р" т?х,...) инвариантен относительно группы G,
если выполняется соотношение
gPn (• • •, V\, ¦ ¦ • ) =РЛ- • •. Ста, • ¦ • ) = Рп(- ¦ •, Vx, ¦ ¦ ¦)
(11.2)
для любого элемента g группы G, причем действие его на компоненты
параметра порядка определяется с помощью матриц ответственного НП:
= (11-3)
Практически инвариантные полиномы п-й степени можно построить, если
записать самое общее выражение для полинома данной степени с
произвольными буквенными коэффициентами, а затем найти эти коэффициенты
из уравнений (11.2). Ясно, что не все n(G) таких уравнений будут
независимыми, а только те, которые получаются при использовании в
качестве элементов g генераторов группы. Только их и следует брать для
получения уравнений (11.2), определяющих коэффициенты полинома. В
зависимости от соотношения между числами: п - порядка полинома, /" -
размерности НП и г - числа генераторов в группе, часть исходных буквенных
коэффициентов может оказаться неопределенной. Их количество дает число
независимых инвариантных полиномов данной степени рп.
Оно может быть при желании заранее подсчитано, поскольку совпадает с
кратностью вхождения единичного представления группы G в состав
симметризованного произведения представления [Л"] От), по которому должно
преобразовываться произведение величин, составленное из на-
81
бора {}. Согласно общей формуле (2.14)
Рп =и"' (<>')? 1х"](?>-
(11.4)
Следует отметить, что для НП Dv инвариант второго порядка - только один,
а инварианты третьего порядка существуют лишь для пассивных
представлений.
Описанная схема может быть детально проиллюстрирована конкретными
примерами, в которых мы ограничимся степенями не выше 4.
Построение Ф для структурного фазового перехода в соединениях С-15.
Построим полиномиальные инварианты для группы 0]t из величин,
преобразующихся по трехмерному НП т7 с к = 0 (это представление описывает
структурный переход в сверхпроводящих соединениях HfV2. ZrV2 из класса
соединений типа С- 15).
Из таблиц Ковалева выпишем матрицы генераторов группы 0]г в качестве
которых выберем элементы h5, h14 и /г25 из нулевого блока группы Ojj:
Согласно уравнению (11.3) можем записать действие этих элементов на
компоненты параметра порядка:
является инвариантом.
Составим теперь полиномы третьей степени самого общего вида:
Рз =Ul17l +V2TI2 + v37]l +u47}?t?2 +VsV2iV3 +
Подействовав на P3 элементом h5 и приравняв результат Р3, получим
следующие соотношения между коэффициентами:
Ui =и2 =u3, u4 =u7 =u8, v5 =v6 =v9.
Подействовав дополнительно элементом /г14, получим новые соотношения: i>i
= и4 = v5 = 0.
Таким образом, инвариантным к элементам hs и /г)4 остается лишь один
член:
Д(Л*)= , D(h14) = ,B(h25) =
hsni=V2, hI4r)t=r)2, h2SVi=Vi,
hsV2=V3, h14rj2 = - Vi, h2Sr]2=r)2,
hsV3=Vi, hl4rj 3=-r?3, h2Sr]3=V3-
(11.5)
С помощью этих соотношений проверяем, что выражение
Рз = V2 + vl + ril
(11.6)
+ VeV2Vi +V7vlv3 +v3T)3-ni +v9-niV2 + ^ i o"7 i 17з -
(11.7)
Рз = Р,Г)гГ)з-
Рассмотрим полином четвертой степени:
Р4 ="ii7? +"2т?2 + "зДз +М4Ч1П2 +usr]W3 +u6r]ln з +
+ M77JlT?2 +U"V3lV3 +U9Vhl +U 10V2V3 +Uiivlrii +U12rih2-
(11.8)
(11.9)
Уравнение hsP4 = Р4 дает следующее соотношение коэффициентов: м, =
= и2=и3, ы4 = us = и6 , м8 = и9 = и 11, м7 = ию - "11 • Уравнение И14Р4 =
Д4 в дополнение к этим дает еще одно соотношение м7 =н8 = О, так что
инвариантное выражение для Р4 имеет окончательный вид
Ра ="iO?i +V2 +vi)+u2(v\ri2 + vfol +vlvl)- (11.10)
Суммируя результаты (11.6), (11.8) и (11.10), запишем инвариантное
разложение термодинамического потенциала в виде
Ф = г(п21 +ril +т?|) + 1Л7,т?2г?з +Mi(r?t +т?2 + т?3) +
+ и2 {,гЦц\ + 1?|т7з)- (П И)
. Построение Ф для структурного фазового перехода в соединениях А-15.
Рассмотрим группу О3h, двумерное представление т5 для к- 0 (это
представление описывает структурный фазовый переход в сверхпроводящих
соединениях Nb3Sn и V3SiH3 класса А-15).
В табл. 2.5 даются матрицы этого НП. Выбирая элементы /г5,/г14 и h25 в
качестве генераторов группы, запишем с помощью соответствующих матриц
представления результат их действия на две компоненты параметра порядка
rji и т}2:
hsVi = er?i, Ьпг =е2т?2 ; Л3 4П1 = Т72, Ьх4ц2=т\\ (1112)
(элемент h2 s не меняет параметра порядка).
Рассмотрим полином второй степени самого общего вида
Р2 =Г,Т71 +г2п2 + к317, тъ
Уравнение hsP2 = Р2 приводит к соотношению гх = г2, а уравнение hl4P2 = ~
Р2 - к уравнениям л, е2 = г, и г, е = г, .которые удовлетворяются только
при г, = 0. Таким образом, инвариантным полиномом второго порядка
является
P2=r?vr?2. (11.13)
Для общего полинома третьего порядка
Рз =Vin3i +v2vl +V3V2iV2 +v4rhn2
имеем соотношения и, ~v2 и и3 = и4, получающиеся из уравнения h, 4Р3 = -
Р3. Подействуем теперь на Р3 элементом h5:
h5P3=vx{n3x + vl) + u3(eri\n2 +e2i?1T?2).
Приравнивая этот результат Р3, получаем два соотношения: еи3 = v3 и e2v3
-v3, которые совместны, если и3 =0. Таким образом, инвариантный полином
