Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
OO
T(T)=J WHv)e~>°-™dv, (5.1.14)
о
где ^fr'rHv)—спектральная плотность мощности действительнозначного оптического сигнала UfrHt). Другими словами, мы можем выразить комплексную степень когерентности y(t) через 162
Глава 5
rHv):
00
Y (т) = -—s-= ( ^(v) е-'3** dv, (5.1.15)
^ 49і[r-r) (V) dv о
о
где &(v)— нормированная спектральная плотность мощности:
r> (V)
9 (V) =
при V > О,
J ^ (V) rfv (5.1.16)
о
О в других случаях.
Заметим, что нормированная спектральная плотность мощности имеет единичную площадь:
1. (5.1.17)
J S(v)dv-
Зная соотношение между y(t) и §(v) [формула (5.1.15)], можно легко предсказывать форму интерферограммы при разной форме спектральной плотности мощности света. Рассмотрим несколько конкретных примеров. В случае газоразрядной лампы низкого давления форма спектра мощности отдельной линии определяется прежде всего доплеровскими сдвигами фазы света, испускаемого движущимися излучателями, которые испытывают редкие столкновения. В этом случае, как известно, спектральная линия имеет приблизительно гауссовскую форму [5.16]: _
где нормировка выбрана так, чтобы выполнялось равенство (5.1.17), a Av — ширина полосы на половине высоты. Такой спектр показан на рис. 5.3, а. Выполнив простое обратное преобразование Фурье, мы получим соответствующую комплексную степень когерентности:
Y (т) = ехр [- (у^=-)2] ехр (- j2nvr). (5.1.19)
Заметим, что фаза а(т) в этом случае равна нулю и, следовательно, интерферограмма состоит из полос с постоянной фазой, но с видностью, уменьшающейся пропорционально модулю ве- Когерентность оптических волн
163
личины y(t) :
Y(T):
tI V 2 У J
(5.1.20)
как показано на рис. 5.3,6.
В случае газоразрядной лампы высокого давления форма
спектральной линии определяется в основном относительной частотой столкновений излучающих атомов или молекул. Можно показать, что в этом случае спектральная линия имеет лоренцев-скую форму [5.16]:
2 (я Ay)"1
W
9 (V)
і +
(5.1.21)
где V — центральная частота линии, a Av — ширина полосы на половине высоты (см. рис. 5.3, а). Легко показать, что соответствующая комплексная степень когерентности имеет вид
Y (т) = ехр [ — я Av I т I ] X
X ехр [— /2л VT].
(5.1.22)
AY
Avv
Рис. 5.3. а — нормированная спектральная плотность мощности S (v); б — огибающая y(t) комплексной степени когерентности. / — прямоугольная форма линий; 2 — гаус-совская форма линий; 3 — лоренцевская форма линий.
В этом случае интерфе-рограмма, наблюдаемая в интерферометре Майкель-
сона, тоже состоит из полос с постоянной фазой, но с огибающей, убывающей по закону
Y (т) = ехр [— nAv I т I ]. (5.1.23)
Эта огибающая показана на рис. 5.3,6, где по оси абсцисс откладывается параметр Avt.
Иногда в теоретических вычислениях для удобства принимают прямоугольную форму спектральной плотности:
9 (V) = ^r reel (-^). (5.1.24) 164
Глава З
Простое преобразование Фурье показывает, что соответствующая комплексная степень когерентности имеет вид
Y (т) = sine (Avt) ехр (— /2лл>т), (5.1.25)
где sine л; Д sin ях/пх. В этом случае огибающая интерференционной картины такова:
y(t) = I sine Avt I, (5.1.26)
а фазовая функция а(т) не равна нулю при всех т. Точнее а(т) испытывает скачки между бил радиан при переходе от лепестка к лепестку функции sine:
JO при 2п < I Avt | < 2п + 1,
а(т) = \я при 2п+ 1 <|AvT|<2n + 2, П==°' 2.....
(5.1.27)
Графики спектральной плотности мощности ^(v) и огибающей Y(t) показаны на рис. 5.3.
Во всех приведенных примерах интерферограммы являются четными функциями разности хода /г. Это — универсальное свойство таких пнтерферограмм: не имеет значения, какой из двух лучей отстает относительно другого.
Дополнительно заметим, что во всех примерах комплексная степень когерентности имеет вид функции ехр(—j2л\>т) с действительным коэффициентом. Это — следствие нашего выбора формы линий в виде четных функций переменной (v — v) (т. е. линий, симметричных относительно v). В более общем случае асимметричного профиля лннии мы получим величину y(t) в виде произведения ехр(—j2n\x) на некоторую комплексную функцию. Таким образом, фазовая функция а(т) может принимать и значения, отличные от 0 и л.
Во многих приложениях необходимо точное и четкое определение «времени когерентности». Такое определение может быть основано на понятии комплексной степени когерентности, но возможны разные варианты определения (см. [5.17], гл. 8, где обсуждаются различные возможные способы измерения «ширины» такой функции, как у(т)). Тем не менее в последующем мы будем чаще всего исходить из одного определения, которое представляется наиболее естественным. Именно, следуя Ман-делю [5.18], мы определим время когерентности тс сигнала и(0 как
OO
тсА J IY(T)PdT. (5.1.28)
Чтобы такое определение имело смысл, величина хс должна быть одного порядка с 1/Av. В том, что это условие выполняет- Когерентность оптических волн
165
ся, можно убедиться, подставив выражения (5.1.19), (5.1.22) и (5.1.25) в формулу (5.1.28) и выполнив в каждом случае требуемое интегрирование. Получим следующие результаты:
