Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
/ (Q) = /' (Q) + /2 (Q) + 2/С,/С2 Re {Г 12 (^p )} . (5.2.9) Когерентность оптических волн 171
Дальнейшее упрощение возможно, если ввести нормировку функции когерентности так же, как это было сделано в случае интерферометра Майкельсона. В силу неравенства Шварца имеем
I T12(T)K I Г„ (O)T22(O) |,/2, (5.2.10)
где Гц(т) и Г22 (т) — функции собственной когерентности падающего света в отверстиях P1 и P2. Заметим, что величины T11(O) и T22(O) — это интенсивности света, падающего на два отверстия. Неравенство (5.2.10) позволяет нам определить нормированную функцию взаимной когерентности в форме
Yi2WA-—иг! (5.2.11)
V12V /— [F11(O)T22(O)I1/2 1 ;
эта величина называется комплексной степенью когерентности.
[Строго говоря, величину \'іг(т) следовало бы, пожалуй, назвать комплексной степенью взаимной когерентности, а величину y(t) из § 1 —комплексной степенью собственной когерентности, но такое различие обычно не очень существенно.] Из неравенства (5.2.10), как легко видеть, следует, что
0<| Y12(T)KI. (5.2.12)
Далее, замечая, что
/W(Q) = ^ril(O),
/(2) (Q) = /qr22(0), (5.2.13)
мы можем сразу же переписать выражение (5.2.9) для Z(Q) в более удобной форме
I (Q) = Z<» (Q) + № (Q) + 2 V/(1,(Q) /(2) (Q) Re {yi2 (^Р)} • (5-2.14)
Чтобы дальше продвинуться в исследовании интерференционной картины, заметим, что комплексная степень когерентности, которая является нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных процессов с центральной частотой у, может быть всегда записана в виде
Y12 W = Y12 (т) ехр {— j [2jtvT — O12 (т)]}. (5.2.15)
Подставив это выражение в формулу (5.2.14), найдем
I (Q) = I^(Q)+ Ii2HQ) +
+ 2 Vz(1)(Q) I12HQ) Yi2 (iP) cos [2nv (*р) - а12 (^p-)] .
(5.2.16)
Хотя мы еще не в состоянии указать точную форму интер-ферограммы, мы уже можем сказать, какова должна быть ее общая форма. Первые два члена в выражении (5.2.16) — это интенсивности, соответствующие каждому отверстию в отдель- 172
Глава З
ности. В случае отверстий конечного размера величины /(1) (Q) и Im(Q) будут изменяться в плоскости наблюдения в соответствии с картиной дифракции на малых отверстиях, но в рассматриваемом случае мы принимаем, что отверстия малы и эти интенсивности постоянны в пределах области наблюдения. На этот постоянный уровень интенсивности налагается система интерференционных полос, период которой определяется частотой V и другими геометрическими факторами, а амплитуда и фаза которой медленно изменяются. В области нулевой оптической разности хода (r2— n = 0) интерференционные полосы имеют классическую видность _
Vi2(Q)- (5-2.17)
Поскольку величина Yi2(O) представляет собой коэффициент взаимной корреляции рассматриваемых сигналов U(Z5I1)1) и u(P2,t), мы заключаем, что у2(0) (или У, когда /0)=/(2)) есть мера когерентности двух оптических колебаний. Следовательно, заданием зависимости величины Yi2(O) от расстояния между точками Pі и P2 мы характеризуем пространственную когерентность света, проходящего через экран с отверстиями.
Заметим, что рассмотренная выше при анализе общая форма интерферограммы в опыте Юнга определяется эффектами как пространственной, так и временной когерентности. При нулевой оптической разности хода огибающая интерферограммы указывает на эффект пространственной когерентности, а в ее посте-' пенном убывании до нуля (сужении интерферограммы) при больших оптических разностях хода находит выражение эффект временной когерентности. Позднее мы разделим эти два эффекта, но сначала нам нужно учесть геометрические соображения, которые позволят нам в большей степени конкретизировать форму интерферограммы.
В. Некоторые
геометрические
соображения
Чтобы выяснить более де-
тальную форму интерфе-
рограммы, необходимо
связать разность задержек (r2 — f\)/с с различными геометрическими факторами, в том
числе с расстоянием между отверстиями, с расстоянием до плоскости наблюдения и с координатами точки наблюдения Q. Такое соотношение можно найти, рассмотрев рис. 5.8. Пусть
It , \р< _-і- У
/ ^
/
P2 ------Z2
,О(х.У)
Рнс. 5.8. Геометрия интерференционного опыта Юнга. Когерентность оптических волн 173
отверстие Pі имеет поперечные координаты (!і,"Пі), а отверстие P2 — поперечные координаты (|, т]2) в плоскости непрозрачного экрана. Экран в плоскости наблюдения предполагается расположенным параллельно непрозрачному экрану с отверстиями на расстоянии Z2 от него. Координаты точки наблюдения Q на экране наблюдения обозначим через (х,у). Расстояния г\ и г2 даются выражениями
УЗ+(i.-*r-KiFip. (5.2.18)
r2 = + (I2 - xY + К - УУ ¦
Чтобы получить простой результат, мы воспользуемся обычным параксиальным приближением, приемлемым в случае, когда отверстия и точка наблюдения находятся близко к оптической оси. В частности, мы предположим, что выполняются условия
Z2W^r+?. Z2 > V^n?' 22» л/ЇЇ+Ч- (5.2.19) В таком приближении получаем
^2 A (iiZLfll
V 22 Z2
и аналогично
2Z2 2Z2
(5.2.20)
*+¦jfcST1 + is^f- <5-2-21>
