Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
о f (о cos Є — S)2 + (a sin Є)2} да ехр {--2er2-} "Ри
а > 0, -я<8<я, (2.9.19) О в других случаях.
Чтобы найти маргинальную плотность распределения А, следует вычислить
я я
Mfl)= e(fl> e)d0 = I^rexP (-^iT") S ехр cose) de.
-я -я
Интеграл может быть представлен в виде 2nlo(as/o2), где /о — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Таким образом, получим выражение
( a ( o2 + s2\,/os\ ^ _
рл(а) = ( "РИ а>0' (2.9.20)
І0 в других случаях.
РАе(а> 9) =
Эта функция называется райсовской плотностью распределения.
На рис. 2.14 представлены кривые зависимости величины арл(а) от а/о при разных значениях параметра k = s/o. При увеличении модуля известного фазора плотность распределения изменяется по форме от рэлеевской плотности до рассматриваемой в следующем пункте параграфа приблизительно гауссовской плотности со средним значением, равным S.
В последующих главах нам понадобятся два момента распределения, характеризуемого плотностью (2.9.20). Это — среднее значение
OO
fl = 5 (2.9.21) 58
Глава 1
арлЮ
Рнс. 2.14. Плотность распределения амплитуды А суммы, состоящей из постоянного фазора (длиной s) н суммы случайных фазоров (дисперсия о2)
[6]. Параметр k = s/a.
и второй момент
OO
^2 = S 5 ехр (- I0 (-? da. (2.9.22)
о
Эти интегралы могут быть вычислены, и результат таков [2.6, § 4.8]:
«= д/ї —K1 4)ЧТ)+Т/.(Т)]- (2.9.23)
а2 = в2 [2 + k2], (2.9.24)
где /о и 1\ — модифицированные функции Басселя первого рода нулевого и первого порядков соответственно.
Чтобы найти маргинальную плотность распределения ре (6) для фазы, следует вычислить
OO
PeW=S Рлв(а'е)^а'
о
Это интегрирование является достаточно сложным, поэтому мы приведем здесь только окончательный результат [2.6, § 4.8]:
... e-W , k cos 9 Г k2 sin2 0 "1 л ,, n\ /о n oc\
(в) = + exp L--2-J Ф ( h ( • 5)
где
ь
Ф (b) = -4=r J е-У212 dy, (2.9.26) Случайные переменные
59
P9W
к* оо
ус
г
& г
Рнс. 2.15. Плотность распределения р0 (в) суммы постоянного фазора и случайных фазоров [6]. Параметр k = s/a.
График функции ре(6) при разных значениях k = s/a представлен на рис. 2.15. При k = 0 распределение однородно, а с увеличением k кривая плотности распределения сужается, сходясь к б-функции при 6 = 0, т. е. при значении фазы, равном фазе постоянного фазора.
Д. Большой постоянный фазор и малая сумма случайных фазоров
Если известный фазор по модулю значительно больше суммы случайных фазоров, то результаты, нолученные в предыдущем пункте, весьма упрощаются. Здесь мы рассмотрим приближенную форму выражений для рл(а) и Ре(6), когда s >> а или когда имеет место эквивалентное неравенство k 1. Один из подходов состоит в том, чтобы применить условие S сг к выражениям (2.9.20) и (2.9.25) и найти приближенные формы, учитывая математические упрощения. Однако мы здесь выбе^ рем более физический подход, который приводит к тому же самому результату, но более нагляден.
Наше приближение основывается на том, что при s а мы имеем дело (рис. 2.16) с малым «облаком» распределения, центр которого совпадает с концом очень длинного известного фазора. В этом случае с очень большой вероятностью длина результирующей суммы случайных фазоров будет намного меньше длины известного фазора. Вследствие этого изменения длины а полного результирующего фазора определяются действительной частью суммы случайных фазоров, а изменения 60 Глава 1
фазы — ее мнимой частью, которая ортогональна известному фа-зору. Поскольку действительная часть суммы случайных фазоров является гауссовской функцией с нулевым средним значением, мы имеем
Vihexp{-?^}' s>or- (2-9-27)
Что касается фазы 8, то при s >> о ее флуктуации малы по сравнению с единицей и поэтому
8«tg8~^, (2.9.28)
рв (Q)~sPl(i = sQ), (2.9.29)
или
Ре«» ~7=гех(2.9.30)
В заключение отметим, что при s >> о как А, так и 0 являются приблизительно гауссовскими переменными. Для ампли-
Im
туды мы имеем среднее значение a = s и дисперсию O2a = а2, а для фазы 8 = 0 и о% = l/k2 = o2/s2. Эти приближенные результаты справедливы, если выполняется условие S » сг.
Задачи
2.1. Покажите, что для любой случайной переменной U
72 = а2 + (и)2.
2.2. Покажите, что для любых двух статистически независимых случайных переменных коэффициент корреляции равен нулю. Случайные переменные 61
2.3. Даны случайные переменные
U = cos 0, V = sin©
с плотностью распределения Ps (0)
-Г
I о
' п Q 71
при--
2 2 ' О в других случаях.
Покажите, что р = 0.
2.4. Докажите следующие свойства характеристических функций:
а) при нулевом аргументе всякая характеристическая функция равна единице;
б) характеристическая функция второго порядка Muv (wu, при ColZ = O равна характеристической функции Mu (со) одной случайной переменной U;
в) для двух независимых случайных переменных UnV
Muv («у, ®v) = Mu (coy) Mv (cov).
2.5. Покажите, что момент unvm, если он существует, может быть выражен через совместную характеристическую функцию Muv(u)u, ®v) по формуле
