Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
нулю при г->оо. Для этого необходимо, чтобы выражение для и сводилось к
полиномам:
где v - целое неотрицательное число. Из этого условия получаем
энергетические урозни
Безразмерный параметр у2 пропорционален приведенной массе ядер ]л, так
что у2 1. Если v и К не очень велики
Второй и третий члены в выражении для Егк дают энергию колебательного и
вращательного движения. Четвертый член учитывает ангармоничность
колебаний и, наконец, пятый член дает поправку к энергии за счет
взаимодействия между вращением и колебанием ядер.
Поскольку D есть величина порядка единицы в атомных единицах (e-m - h-
1), из полученного выражения следует, что
Р ________________51
хК 2н-д2
" + у+}Л3 + (к + jf\
(r)<CT> ¦^'Ст-
выражение Evz принимает следующий вид:
2;лад4и0
где
Энергия диссоциации приближенно равна
где т. - масса электрона.
216 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Отсюда видно, что разность энергий между двумя квантовыми состояниями с
различным движением электронов (величина порядка D) велика по сравнению с
разностью энергий различных колебательных состояний, которая в свою
очередь велика в сравнении с расстоянием между вращательными уровнями.
7. Находим минимум эффективного потенциала
W
а*К(К+1)
2 (хдз
из условия равенства нулю его производной:
W' = - 2d(- i + т) - Щ- = °>
V Ро Ро' Ро
откуда получаем:
1 i А2
Ро-
Разложим теперь эффективный потенциал вблизи найденного положения
равновесия:
Щр)2D(i-L) + 4 + (р - Ро)2,
VPo Ро ' Ро Ро
удерживая здесь члены порядка А2, получаем:
W (р) " - D + А2 + (D - ЗА2) (р - р.,)*.
Подставим это выражение в уравнение для у
$ + lj? [? + О-^-(Д-ЗЛ*)(р-р0Ях=0. Отсюда находим энергетические уровни:
Evк = - ?>+ A2-\-hu> (v Н-у)-Здесь в том же приближении
/, 3 А*\. -./'2D
Окончательно для энергии Et.g имеем:
Evk = - D-)-fi<i>o
. №К(К+1) 3 fi/c^+1)(t, + ~2')
2ja а2 2 (х2а4а)0
§ 8]
МОЛЕКУЛА
217
Вследствие того, что при этом вычислении не учитывался эф-
полученный при решении предыдущей задачи.
8. В инфракрасной полосе мы имеем дело с переходами в основном
электронном состоянии, при которых изменяются колебательные и
вращательные квантовые числа. Для частоты перехода между двумя
состояниями v', J' -> г/', J" имеем:
Из правил отбора для J следует f' - J'do 1. При этом получается
совокупность частот
Отметим, что эти два' ряда частот в молекулярной спектроскопии называются
соответственно Р и R ветвью.
Из полученных выражений видно, что разность частот двух соседних линий
при фиксированных г/ и v" равна в C.W-1
Равновесные расстояния а в молекулах DC1 и НС1 одинаковы, поскольку форма
потенциальных кривых определяется
фект ангармоничности, здесь отсутствует член
U) = U)0 (г/ ~ V") + IS2 + j'- J"- - Г\.
и
2пер.а2 '
Момент инерции молекулы НС185
г ¦ см2.
Используя значение приведенной массы
^ = Л111гй = 0,972Л1н = 1'61 •10-24 г'
находим расстояние между ядрами в НС1:
218
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
состоянием электронов. Отсюда следует, что
Avdci ^НС1 . Л _1
-------, AvDCi=10,7 см
^VHC1 Ь*Т>С1
9. Расстояние между двумя первыми вращательными уровнями
А>=2^7=41'5 см'1-
Отсюда находим:
Дч
-т-- = 0,0104.
кол
10. Энергия диссоциации молекулы D2 равна 4,54 эв.
11. Переходя к новой переменной % = г -а- , запишем
уравнение для радиальной функции у:
^. + ^i(?_vo-/. = о.
Полагая z=ae~2?', получим:
* , г . , ( ^ г , u + s + t'n)
X +77. +V-F- 4^----------------г-----/'/-=0*
где
1 [xa^D ,,_____ 2\xa3D
S
Полученное уравнение заменой у - с 2 zsu(z) сводится к
гипергеометрическому zu" (2s-\-\-z)a'-\-nu~ 0, решением которого является
вырожденная гипергеометрическая функция u = F{-v, 2s -|- 1, z). Эта
функция удовлетворяет условию обращения у в нуль при /•->--)-оо при
положительных значениях s (дискретный спектр). При г -"• - оо волновая
функция должна обращаться в нуль. Для выполнения этого условия
необходимо, чтобы F сводилось к полиномам, т. е. чтобы v было
неотрицательным целым числом. Это условие определяет энергетический
спектр
Ея = йш(* + 1)-^(г;+1)2, где ш = 4р.
(1)
§ 8] МОЛЕКУЛА 219
Таким образом, расстояние между колебательными уровнями уменьшается с
увеличением квантового числа V.
Энергия диссоциации равна
Е - D-- -1- - с° ~ 2 ' 16Z3
13. В качестве параметров, характеризующих вращение, возьмем углы Эйлера
(0, 6, ср). В этом случае координаты точки х, у, z в неподвижной системе
связаны с координатами ?, т), С в подвижной системе отсчета следующим
образом:
jc = $ (cos й cos cp - sin ^ sin cp cos ft) -
- 7} (cos 4" sin cp -)- sin ф cos cp cos 0) -)- С sin ^ sin 6, у = $
(sin ^ cos cp -)- cos ф sin cp cos 0) -)-
-)- 7] (- sin <]" sin cp -)- cos 4 cos cp cos 0)-Ceos ^ sin 0, z - $ sin
cp sin 0 -)-7jcos cp sin 0 -f- Ceos 0.
Для того чтобы найти вид операторов J1), восполь-
зуемся тем соображением, что оператор \ еегь - i-^,
где а угол, отсчитываемый в плоскости, перпендикулярной оси Так как
вследствие поворота системы координат $, т], С относительно, например,
оси % на бесконечно малый угол da, значения углов изменятся, то мы можем
