Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
убедиться, выполняются соотношения
а{-k) -- b(k), a* (k) = - b(k)
(при взятии комплексно-сопряженной величины k не заменяется на k*).
Запишем асимптотическое выражение у в виде
у = A (e-ikr~ifj< - eikr b5u) == - 2iA sin (kr-f- o0).
Фаза рассеяния o0 определяется из соотношения
л2гЗ, __ Jyaki (2йу-) Г (2aki -j- 1) 4afcj In ax
/-ae*i(2<") V (-2aft/+l)
Связанному состоянию соответствует чисто мнимое значение к, - lkn (в этом
случае энергия отрицательна).
_fc 7*
Для kn > 0 коэффициент при е = е " в первом слагаемом асимптотического
выражения для у должен обращаться в нуль. Таким образом, либо V2aft
(2ау.) = 0, либо
* --гг- - 0. Из второго условия следует:
х y2.dKц -j- 1)
2akn-\~ \ - п (п = 0, 1, 2, ...),
т. е.
ЬЦп +1)=
2р. 8ца3
однако при этом индексы бесселевых функций становятся целыми числами и,
так как ./" (х) = (- - 1)" J_ п (х), два реше-
§ 9] РАССЕЯНИЕ 243
ния оказываются линейно зависимыми и волновая функция (1) обращается
тождественно в нуль. Поэтому полученные уровни энергии являются
фиктивными. Первое условие дает истинный дискретный спектр задачи:
h2k2
У2о*п(2ах) = 0, Еп = ~~^. (2)
Таким образом, нули выражения лежат на мнимой
оси и, помимо значений ikn, соответствующих дискретным уровням (2),
содержат лишние нули.
8 а) d. - (g2\2 dQ j....................
1 j \2eJ ( " d fiV-V' - Vafi (2,u? + Й2й2) '
\ 2 ' 2ц?/
6)
/ 4n4ab
2 гт2 ( 4
n2U20lx ( AhMF \
1 л fi-<x~ I •
4№a*E ^ e
16 \>?Ul a2
В) d.'j -- ---------t-j-----r-r;-j------к-: dQ ,
' Й4 (a2 -)- q2)i
64jt(A2f/o 16*4 + 12/feV + 3a4 ° _ 3 Й4 (a2 + 4*2)3 •
). а) Вычисляем атомный формфактор для водорода
1
F{q)= ( e*r п (г) dx = ~ J e,9,r " rfx = у-
I1'
fi2 \
= -^г, - боровский радиус!.
Отсюда находим дифференциальное сечение
, 4д2 (8 + q2a2)2 ,п ( . О \ ...
rf3 = -~4 + ?3да)ч (? = 2AsmT) (1)
и полное сечение
______71 а? 7/Ий4+ \8k2a2 + 12
3~ 3 (?%2+ip
Условие применимости борновского приближения принимает в данном случае
вид
kd ^>> 1,
244
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
поэтому последняя формула упрощается
(2)
б) Для атома гелия распределение плотности электронов, найденное с
помощью вариационного расчета, имеет следующий вид:
2 г
/ N 2 -Т А 16
п(г) = ^е ь , Ь=ша.
Дифференциальное и полное сечение упругого рассеяния на атоме гелия в
этом приближении имеет тот же вид, что и для рассеяния на атоме водорода.
Нужно лишь в формулах (1) и (2) заменить а на Ь и ввести общий множитель
Z2=4. В частности,
28л
3 - Ж- •
10. Волновая функция системы из двух одинаковых частиц имеет вид
произведения орбитальной и спиновой функций. Независимо от того, является
ли спин частиц целым или полуцелым, четному суммарному спину
соответствует симметричная орбитальная волновая функция, а нечетному-
антисимметричная.
После перехода к системе центра инерции и отделения переменной центра
тяжести орбитальная волновая функция принимает вид
W(rp г2) = ср (К)'МР)>
где
R
г\ + г
2
При замене rt на г2 функция ср (/?), описывающая движение центра тяжести,
очевидно, не меняется. Таким образом, волновая функция относительного
движения двух частиц должна быть четной
^ (?) = Ф (- Р)
в том случае, если суммарный спин S четен, и нечетной 'НР)= - Р).
если спин S нечетен.
§ 9] РАССЕЯНИЕ 245
Невозмущенную волновую функцию можно записать в виде
(J) (р) = ?ifroP _|_ g-ilpoV t (1)
если 5 - четное, и
(J) (р) = е^-ор - е , (2)
если S - нечетное. В результате взаимодействия частиц
F (5)
возникает рассеянная волна ~elkf, где 0 - угол между
к0 и направлением, в котором разлетаются частицы в системе центра
инерции. Амплитуду рассеяния можно выразить через амплитуду рассеяния
частицы с массой, равной приведенной массе обеих частиц в поле U(г).
Действительно, 'т'(Р) удовлетворяет уравнению
{-^(Др + А2)-?/(р)}<Мр):
0.
Если падающей волне eik°? соответствует рассеянная ty^eikf, то для
падающей волны (1)
Fo(^) =/(,f*) + /(u - *0 (спин четен),
а для (2)
Fx (Я) = /(f)) - /(тг - {>) (спин нечетен).
Вероятность рассеяния одной из частиц в телесном угле dQ (при этом другая
частица движется в противоположном направлении), отнесенная к плотности
падающего потока: *"0=|/(") + /(* -")|2. d0l = |/(")-/(* - ") |2.
Амплитуда /(Я) выражается через фазы рассеяния §2 по формуле
СО
/({>) = т И(2/+1} Pi (cos ft) le2i?'l "1 ь
г=о
Принимая во внимание, что
Рг (COS (71 - &)) = Pj (- cos f>) = (- 1 )l Pi (cos ft),
246
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
находим:
FoW = Tk 2 (2/4- l)/>,(cos tV)[e2ie*-1],
четные I
четные I
= Ъ (2/ Ч- 1) />, (cos f>) [e2ie* - 11.
нечетные I
Для медленных частиц наибольший вклад в рассеяние вносят малые I. В
случае четного суммарного спина сечение (как и при рассеянии различных
частиц) сферически симметрично и не обращается в нуль при й->-0.
Если же суммарный спин нечетный, то сечение определяется членом с / = 1.
Поскольку 8г~А2г+1 для малых волновых чисел k, сечение обращается в нуль
как Е2 (при Е -> 0) и имеет угловую зависимость ~cos20.
11. В случае кулоновского поля амплитуда рассеяния*)
