Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
-v* *°-Р~' (2)
но благодаря множителю сечение а0 оказывается конечным а ^ 4тш2 ^ Д(малые
/г). (3)
Рассмотрим сечение з0 как функцию глубины ямы, которая характеризуется
k0. Если яма неглубока (k0a СО, то
kf-.a4, 16п асО'2. 2
а0 = 4:ш2 0 01
9 9 • Л4
Отметим, что согласно теории возмущений
", следовательно,
16я а6?/д,ч2 о = 4и | /(0) |2 = -д---------?-
По мере возрастания U0 сечение возрастает и при k0a =
становится неограниченно большим. Условие А0а = совпадает с условием
появления в яме первого уровня. По мере углубления ямы сечение затем
начинает уменьшаться и обращается в нуль при tg k0a = k0a. При дальнейшем
увеличении U0 сечение продолжает колебаться между 0 и оо, причем
обращение сечения в оо наступает при появлении нового уровня в яме.
Резкие колебания сечения при рассеянии
238
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
медленных частиц качественно объясняет тот факт, что при рассеянии
медленных электронов атомом сечение может значительно отличаться от
геометрического.
Отметим, что если значение к0а близко к целому кратному у, то формулы (2)
и (3) необходимо видоизменить.
Действительно, в этом случае tgk'a оказывается большим числом и в формуле
(1) нельзя произвести разложения, приводящего к формуле (7). В этом
случае по-прежнему однако можно пренебречь слагаемым ka<^ 1 в квадратных
скобках формулы (1). Тогда
30 = arctg tg Л'а]
и отсюда для сечения а0 получаем:
_ 4я(1 +0(-/.д))
°0 -/.2 + k2
где по условию
V 1
Х tg k'a а '
Эта формула для "резонансного" рассеяния дает зависимость, сечения от k
при малых k, если потенциальная яма такова, что малым изменением ее
глубины (или размера) можно добиться появления или исчезновения
дискретного уровня.
" . ,/thv.a ,\з V"2;a?/0
2. а = 4тса2-----------1 , где / = i
\ w / п
При Uо -> оо а = 4па2, т. е. в 4 раза больше, чем сечение упругого
рассеяния на непроницаемой сфере в классической механике.
СО
3.-^ = ж2<2/-И>81г'2г* +
Z-0
со
^ (^Ч- О h 5*п h+icos (h+i - ^)Ч~~
1=0
со
3cos20 1 у г /(/+1)(2/+1) . 2 R ,
№ 2 1)(2/+3) г_г
г=о
_1_ 3 (/ + Ц<' + 2) sin sin зг+2 cos (§г+2 _ 8г) J .
z=о
оо
6 COS i
'~?~
1=0
§ 9] РАССЕЯНИЕ 239
или
1
d3==-§S(2/+1)sin23*'
11
J-
ыо
СО
cosftd0e^2(Z+.l)sin Згsin 8mcos (8m - 8г)>
о г=о
•3 cos2 0 - 1
CJJ
rf0 = in У /(/ + 1>(2/ + /) sin^S +
?2 Л (2/+1) (2/ + 3) г +
г=о
. 12п (/ 1) (/ 2) . л . Л Л ч
+ 2/ + 3 sin °l sin °г+г cos (Si+2 - о,).
z=o
4. Радиальные функции подчиняются уравнению ./Г + [*,-<<!+1)_^]z = 0
и должны удовлетворять условиям ^ (0) = 0 и конечности при г ->• со.
Удовлетворяющее этим условиям решение имеет следующий вид:
7.1 = Vr Л (кг),
где
Й2 '
Из формул для асимптотического поведения J\(kr) находим фазы:
тНЧЬ-т {/Ы)'+*Ч"+4)}.
Независимость Зг от & означает, что амплитуда рассеяния
/(". *) = j/o(").
где /о(0) не зависит от энергии рассеиваемых частиц. Сечение рассеяния
*>=^г1/о(&)12<Ю
обратно пропорционально энергии и характеризуется универсальным угловым
распределением.
240 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Поскольку при 0 -> 0 сумма, определяющая амплитуду рассеяния
ОО
= '27* 2(2/+1)Я*(C0S °>^ - 11
1 = 0
расходится, ясно, что для вычисления /(ft) при малых ft существенны
большие /. Для больших I имеем:
откуда
СО
wSP'(cos!i)--^r--lr.
г=о
со
яиЛ VI " , Г(Ч
г=о 2sinT
в том случае, когда
¦?<1.
выражение (1) для §г справедливо при любых I и таким образом для всех ft
f(n^_ ltd_________!__
' kh'* . # '
2sin 2 .gjMl ctg _ d>'
2№E ° 2 '
5. Амплитуда рассеяния в борновском приближении имеет
вид
где
Отсюда
q = kr - k, q = 2k sin d.
= |/(ft) |2dQ = ctg •§¦ rfJ>.
§ 9] Рассеяние 241
В классической механике связь между углом рассеяния и прицельным
параметром р имеет вид
1
p.vp dr _ я - О
Го r2^f
3 . ...... Га 2
где г0 - корень подкоренного выражения. Производя интегрирование,
находим:
" А 1 (я- О)9-
Р
откуда
* о dp .с, 2яМ я - 8
fo- - 2лР - -ё~ аз (2п - 0)2 df>-
При выполнении условия
МС1
Л2
борновское приближение применимо для всех углов (ср. с предыдущей
задачей).
В обратном предельном случае, если класси-
ческое выражение применимо для не слишком малых углов
^ 8М '
а для меньших углов
й3
'
справедливы результаты расчета в борновском приближении.
6. Для радиальной функции имеем уравнение Х" + -Й2
Введем обозначения k2 - , у.2 = -и в качестве не-
Г
зависимой переменной выберем \ = е 2а. Решениями получающегося при этом
уравнения
x"+r//+4"2(it+x2)*=0
1(3 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
242 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
являются бесселевы функции мнимого порядка '/j=J± гаы (2axi|)-Условие
обращения / в нуль при г - О, т. е. при ?=1, приводит с точностью до
нормировочной постоянной к выражению
X = J-iaki (2flx) Jiaki (2fi*c) J-zaki (2ox) J-2aki (2flx?). (1)
Асимптотический вид функции / при г -> оо (6->0)
.2aftilna* . -2afcilna*
х = J-iakiVav.)Y(2^kT+Tj e~%Kr~J*iki(2av) fj_2aki + i) e%kr-
Коэффициенты при ?-'i?cr и eikr можно рассматривать как функции
комплексного Если их обозначить через а(к) и b(k), то, как нетрудно
