Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
состоянию с "гг = лтг^- -{- х/а, m-s ==-V2-
52. Cj = y (1 +т), С2 = }//Г-j О-Т) Для верхнего
уровня,
Ci = |/"^-(l- f), с2 = - |/"у (1 -}-т) для нижнего уровня,
196
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
где
1
2 + 21 _J_ 1 <*?*>
Vt
- (Л?)2 -J- 27'J^Tj Исследуем предельные случаи.
а) Магнитное поле исчезающе мало, т. е. АЕЖji0, тогда у^1. Для верхнего
уровня будем иметь ct = l, с2 = 0, для нижнего сх = 0, с2 = 1.
б) Сильное магнитное поле АЕ<^ з$?и0- В этом случае
т =-г 1 +
2
¦j/'l + mj + T л[1:
V 2/4-1 ' 2 ~ Г
2/ +1 ' 2 Г 2/ +1
уровня
1_
2
- для верхнего
i/'-M с__тЛ
'Г 2/4-1 ' ~ Г
+ mJ + Y
для нижнего
2/+1 ' "2 Г 2/+1
уровня.
Подставляя полученные значения и с2 в выражение для волновых функций (см.
задачу 51 § 7), находим:
'!fi=Rni(^ для верхнего уровня,
+ = *"*( К,° т_,. (9, ?)) для нижнего уровня-
53. Так как энергия в магнитном поле значительно превышает энергию спин-
орбитального взаимодействия, то в первом приближении последним
взаимодействием пренебрежем.
В этом случае /2 и sz-величины сохраняющиеся, и энергия расщепления
определяется формулой
E(l)=^c$e{ml+2ms).
ATOM
197
Во втором приближении учтем спин-орбитальное взаимодействие.
Мультиплетное расщепление, накладываемое на расщепление в магнитном поле,
определится средним значением
оператора
(Is) (см. задачу 10 § 7) по состоянию
2fJ.2C2 Г3
с данными значениями тг и ms. При заданном значении одной из компонент
момента средние значения двух других равны нулю, поэтому
Is =
mim".
ние
ет 1
"п, I, j - 1
1 - Е
"I/o
п, I, j- J ¦ ~
Д Е
2<j.2c2 г'л
l+i
Окончательно для имеем выражение
eh
*?("" +2".) +
mitn
Таким образом, энергия расщепления уровней с учетом спин-орбитального
взаимодействия имеет вид
Е(1) = щ!гс гЖ +2rfls)+h щтs'
Подставим в полученную формулу значе-
2 г3
ления тонкой структуры в отсутствии поля-Как легко показать (см. задачу
10 § 7),
щ1
г- / 1 z
- 0 1 z
(/ .1 г
(-/ l
h- 0 1 7
-/ 1 " г
0 1
Рис. 30.
На рисунке 30 дана схема расщепления Is и 2р термов атома щелочного
металла в сильном магнитном поле.
54. Энергия возмущения в данном случае равна
V:
з
[ХС 1 Г3
VI
3 (rs) г
72
)+0 m'sz+wA-
В этом выражении последним членом пренебрежем ввиду малости магнитного
момента ядра по сравнению с магнит-
ным моментом электрона
3 <
1 2 цс 1
198
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Поступая так же, как и при решении задачи 51 § 7, находим секулярное
уравнение:
Но 3emf
i + ¦
Г (. 1 \2
-JV \ 2")
1 "1" О
о
1 + Т
Здесь Е+ структуры, а Е_ с / =
/-1, ....
находим:
\V (г'+т)
зен
trtf
2
nif
-Е
1+2
= 0.
и Е
¦энергия терма с учетом сверхтонкой
причем Е+ относится к состоянию с / = /-)-'/г, г - V2' тг - проекция
полного момента {tnf = /, eh
/), а [х,
+ Е-
2[ас '
Решая секулярное уравнение,
. Д?
Т
/г
2,а0да
2S
i+т
Y тг + ?'
где ДЕ = Е+ - Е_, a s - .
Найдем порядок величины напряженности магнитного поля, в котором будет
наблюдаться расщепление, описывае-
I |
мое
полученной формулой. По условию gfd
Но
В случае атома натрия AEff = 0,0583 см-'1 - 1,962-10-16 эрг',
так как (д.0 = 0,922 • 10 гаусс ¦ см?
по порядку должна быть равна Рассмотрим предельные случаи, а) В случае
малых полей, т. е. при энергии получаем следующие выражения:
&&V- о
то напряженность gfB 600 гаусс.
r)J^<C!AЕ, для
Е = Е+
1 +
1 тР
2
1 тГ
б) В случае больших полей, т. е. при еР%?и0!^>Д?:,
§ 7\ atom 199
57. Собственные нормированные функции атома водорода в невозмущенном
состоянии имеют вид (см. задачу 20 § 4) ________
Rn, " (V j Ч~ mj Yj- 1/г, т -v2\ )
, ' }(1)
, _ ^n,j + i o (У j + 1 ~~ т1
Yi+'M'
Энергия определяется двумя квантовыми числами /г, у. В присутствии
однородного электрического поля (&х = $>у = 0, is = i)yz по-прежнему
остается константой движения, а орбитальный момент перестает быть
интегралом движения. Матричные элементы оператора возмущения V = e$z для
переходов между состояниями с различными значениями trij равны нулю.
Равны нулю также диагональные элементы оператора V, т. е.
(2)
Поэтому для определения расщепления необходимо вычислить матричные
элементы V, соответствующие переходу из состояния п, j, т.р l - 1/2 в
состояние п, j, ntj,
l-j - '/2- Искомый матричный элемент равен
21 == У12 - е& U*~ZU+ dx =
О
оо
= J r9R",j-y, (Г) Rn.j+ч, (Г) dr
2УУ(У+1)
JV VJ "'j
X
X J mj-4,Yj+4" т. -1,2 cos & -V" (7 - 1) x
X J + C0S ^ ¦ (3)
2 00 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Проинтегрируем сперва по углам. На основании формулы cos"K""(!>, Т) °
0 ¦?) +
+ V
(¦1 + т){1-т) у .о. ч
(21 + 1) (2; - 1) > У)
получаем, что выражение в фигурной скобке в (3) равно
2YTUTT){(у'+ mj) {J - +1) ~ V+mi +1) ^ - =
Уяу + i)
Производя далее интегрирование по г, имеем:
_|я/яз_(у + !)г.
Таким образом, для матричного элемента возмущения (3) окончательно
получаем:
3 1+
- тя ----7(7ТТ)-----mje$ = Vl2 = V21.
Искомую поправку к энергии находим из решения векового уравнения:
-е К12
V.
21
О, & = dzV,
1)
При заданном п терм с j = n -1/2 в электрическом полене расщепляется, так
