Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ш± 0
матриц
(АВ)п1с
' 2 АптВтк
или
f*П (АВ) фй dx = ^ { J й* A'bm dx • J нВЬк dx J.
Положив в последнем соотношении А = В = z, п = k = 0, получим:
(^)оо == 2 ^От^тО == 2 %0т
ИЛИ
2 zlm = 2 ZL - = (*2 )оо - zlo¦
т Ф 0
234
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Так как в S-состоянии в силу симметрии z00 = О, a (z2)оо = у (г2)00, то
сумма
2*L=t('2)oo==1.
т ф О
Таким образом, для V(г) получаем окончательно выражение
V №) = -*-§ ¦
Для того чтобы уяснить, как могут возникнуть силы взаимодействия между
двумя нейтральными сферически-симметрич-ными атомами водорода, рассмотрим
волновую функцию системы. Для волновой функции системы в первом
приближении получаем выражение
Ф = Фо(''а1)Фо(''42)
Плотность вероятности ^(1, 2), если пренебречь членами,
1
содержащими - в качестве множителя, имеет вид
rb2) = w0(ral)w0(rb2)
Если нет взаимодействия между атомами, плотность вероятности равна просто
произведению -ш(1) на w (2), т. е. между положениями электронов в этом
случае нет никакой корреляции. В случае же взаимодействия положение
первого электрона не независимо от положения второго. Электроны занимают
статистически чаще те положения, в которых их взаимная потенциальная
энергия имеет по возможности меньшее значение.
Таким образом, силы взаимодействия в первом приближении можно объяснить
не деформацией электронных оболочек, а корреляцией между положением
электронов.
35. Докажем аддитивность для системы, состоящей из трех атомов. Из
расчета будет видно, что его можно применить к любому числу атомов.
Энергию взаимодействия запишем в следующей форме:
V = V(\, 2) + К(2, 3)+V(3, 1),
где через 1, 2, 3 обозначены совокупности координат первого, второго и
третьего атомов. Мы рассматриваем взаимо-
МОЛЕКУЛА
235
действие атомов, находящихся на большом расстоянии друг от друга; в этом
случае обменные силы не играют никакой роли. Волновую функцию трех атомов
при игнорировании обмена в нулевом приближении зададим в форме
Ф = ^;(1)^(2)-Ы3),
где /, k, I - указывают квантовые состояния атомов а, Ь, с. Функции (1),
принадлежащие различным значениям i, ортогональны. То же самое можно
сказать и про функции 'hk(2) и 6сг(3).
Энергия возмущения во втором приближении имеет вид
I/000 V '____________I I_____________ , ,
00о_Г^ Ean + Ebn + E^-Enj-Etb-Eri' К 4
Штрих у знака суммы означает, что /, k, I не должны одновременно
равняться нулю. Первый член представляет классическое взаимодействие
мультиполей. В нашем случае он равен нулю. В выражении (1) все члены, у
которых одновременно i ф 0, k ф 0, / ф 0, исчезают вследствие
ортогональности функций.
Три частные суммы с / = k = О, I Ф 0; / = / = 0, k ф 0; k = 1 - 0, i Ф 0
означают поляризационные взаимодействия соответственно I-го, &-го и i-го
атомов в результирующем поле двух остальных атомов. В случае, когда
распределение зарядов в атомах обладает шаровой симметрией, эти суммы
также исчезают. Необходимо заметить, что эти суммы не могут быть получены
путем аддитивного учета энергии взаимодействия каждой пары атомов. Нам
остается рассмотреть те члены, в которых два индекса отличны от нуля.
Итак, при сделанных предположениях относительно распределения заряда в
атомах энергия взаимодействия может быть разложена на три частных суммы:
. W №1
v' \vika\ , V'
Zi ."Г" Zu
Еао Efo Еа{ Еьк^~ jmU EiQ-\-EcQ Eik Ес\
i 0 к ^ О к ф0 IфО
, v те)а (2)
Еао Есо Eai ЕС1
гфо }ф0
236
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Вследствие ортогональности и нормированности собственных функций атома
матричный элемент
V2= /^(l)^o(2)^(3). {V(l, 2) +
+ К(2, 3) + ^(3, 1)}^(1)Фьк(2)фсо (3)^^ =
= / фао(1) фьо(2) 1/(1, 2)6ai(\)^bk(2) dz, di2 = {1/(1, 2)}".
Следовательно, выражение (2) состоит из трех слагаемых, каждое из которых
представляет дисперсионное взаимодействие пар атомов. Легко видеть, что
этот расчет может быть распространен на произвольное число атомов.
В том.случае, когда расстояния между атомами невелики, надо принять во
внимание переходы электронов от одного атома к другому, т. е. принять во
внимание обменные силы.
§ 9. РАССЕЯНИЕ
1. Потенциальная энергия частицы
U (г) = - U0 (г < а),
U (г) = О (г > а).
Необходимо найти фазы рассеяния, т. е. асимптотический вид радиальных
функций, удовлетворяющих уравнениям при
к2-
1(1+ 1)'
при
г > а '/г + ['
\,2 1(1+\)
У.г - 0> V-
2(J.Е
№
г<а У.г
7г = 0, к'2
2р- (E + U0) IP
с граничным условием ^г(0) = 0.
В случае, когда длина волны де Бройля значительно больше размеров ямы,
основной вклад в рассеяние вносит S-волна. Решение у0, удовлетворяющее
граничному условию, имеет вид
= A sin к!г (г < а),
7.о = s>n (kr -f- 30) (г > а).
<§ 9] РАССЕЯНИЕ 237
¦Фаза о0, также как и коэффициент А, определяется из условия
непрерывности волновой функции и ее производной при г = а. Эти условия
дают:
80 = arctg [у tg k'a'j - ka.
Итак, парциальное сечение для I = О
ао = Sin2 8° ^ % Sir'2 [arctg(^ tg k'a)~ ka\ • О)
При малых скоростях падающих частиц (?-"-0) фаза рассеяния 80
пропорциональна k:
г М Л 2ц?/0
