Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
ф1Б(-1+, 1-) ф16(1-,-1+) Ф17(0", 0+) ф18(-г, 1+)
ATOM
i3i
Из рассмотрения таблицы следует, что данная конфигурация имеет термы 86\
1Р, 8Я, 'D и 3D.
При решении задачи в качестве функций нулевого приближения возьмем
функции, указанные в таблице.
Так как энергия не зависит от значения проекций Ms и Mi, то матрица
возмущения будет представлена в виде субматриц следующим образом:
Обозначим через V оператор возмущения. В первой субматрице присутствует
только терм '3D. Следовательно,
Ell)m=vn.
Во второй субматрице (М^ - 2, Ms = 0) комбинируются два терма SD и lD,
^\*D) + E(l\'D) = V22 + V33.
В третьей субматрице (Мь=1, уИ^=0) комбинируются два терма SD и 3Р,
Е{1\Ю)+Е(1)(*Р) = УЫ + У66.
192 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
В четвертой субматрице (ML = 1, Ж§=0) четыре терма: SD, W, "/>, Ф,
Е<'> (aD) + ?(i> (iD) + ?(i) (3р) + Е{1) (Ф)=К66+К77+К88+К99. В пятой
субматрице (Ml = О, Ms - 1) три терма: 3D, Ф, 8S, ?<" (SD) + ?<1> (Зр) +
?<" (85) = К10; 10 _|_ u + К12_ 12.
И, наконец, в шестой (Ml = 0, M,s = 0) все термы: 3D, 8Р,
3S, Ю, Ф, >5,
?<" (3?)) _|_ (1?)) _|_ ?(1) (3Р) _|_
+ ?(1) (Ф) -+ ?(,) (35) + Е{1> ('5) =
= V^u, 13 + V^u, u + K15j 15 + К16,16 + Кп> 17 + К18,18.
Из этих уравнений легко получить выражение для термов через диагональные
матричные элементы:
Е{1)( *D) = Vlv E{l)m = vi2+v^-vn>
?(1>(зр) = К44 + К55-К11,
?(1) (Ф) = Vqq -{- 1/77 + \/88 -(- 1/99 + Vj, ^22 ^33 ^44 ^55
И Т. Д.
46. Выражение ^(4+ 25г)&в является малым возмущением. Рассматриваем
рассель-саундеровский тип связи.
В этом случае Н0 коммутирует с операторами У2,
L2, S2. Уровни энергии невозмущенного состояния характеризуются
квантовыми числами J, L, S. Каждый из этих уровней вырожден по
направлению вектора J, кратность этого вырождения равна 2У-(- 1.
Так как недиагональные по Jz матричные элементы оператора (Lz -|-2S_)
равны нулю, то поправка к энергии равна просто среднему значению
оператора (L,+ 25г) в состоянии, характеризуемом квантовыми числами J,
Jz, L, S.
ATOM
193
С целью вычисления этого среднего значения положим в формуле (задачи 29 §
4) gt = 1, g2 = 2, Jl-L, J2= S. В результате получим:
Согласно сказанному выше искомое расщепление будет равно
с(1) еЬЖ ,
51. Энергия атома в магнитном поле одного порядка со спин-орбитальным
взаимодействием. Поэтому оператор спин-
орбитального взаимодействия, равный ср (г) is (см. задачу 10
eh ' л
§ 7% объединяем с оператором ^(lz-\-2sz) и их сумму v=9(r)ii^-0-
cM>(i:+2sz)
рассматриваем как малое возмущение. В невозмущенном состоянии
сохраняющимися величинами будут квадрат и проекция орбитального момента,
а также квадрат и проекция спина. Нам удобнее взять другой набор
сохраняющихся величин. Будем характеризовать стационарное невозмущенное
состояние квантовыми числами п, I, /, nij (12, j2, jz коммутируют с Н0).
Степень вырождения в случае кулоновского поля равна 2п2, в случае
центрально-симметричного произвольного поля 2 (2l-\- 1). Нам нет
необходимости решать се-кулярное уравнение такой высокой степени.
Заметим, что в возмущенном состоянии квадрат орбитального момента и
проекция полного момента являются интегралами движения. Вследствие этого
волновая функция возмущенной задачи должна быть скомбинирована из функций
6<°>
относящихся к одним и тем же значениям п, I, т$, т. е. ф = с^0) (п, I, j
= l - у, m^j с2'|Д°> [п, I, j = I + J
13 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В, Д, Кривченков
194
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
или в другой форме
лЭД (V 1 + т1 + Ъ Yl'mr'' . ,
У2ГП 1 / , 1 к ^
R(0) [if1 - mi ~^ ~2 ^1•
V2l + l\-yr +
+ C; nl
Матричные элементы оператора V равны
+ - А^2 + ( 1 + 2Г+Т; '
=- ^ ,4i+**>"< ('-ггр (ойЗ&К? - №й2:::* - Iri ^ ('+т)! -"? •
где
со
л = j Rni (О ? (О Я "г </) J
о . eh
)r~dr, а Ро=2^-
о
Значение энергии ? находится из решения секулярного уравнения
<*>*> J (, , 4V_m2f
2/+°1 2/ "V
2/ + 1
E(?J - А1-^+ {l - 2TfJ
= 0.
Обозначим через E+ и E_ энергию одноэлектронного атома с учетом спин-
орбитального взаимодействия, причем Е+ относится к состоянию с j = 1-\-
1/г, а Е_ с j - l -1/2. Как следует из решения задачи 10 § 7,
р(0' -)_ А у, ?_ = Е$ л 1 + 1
§ 71 ATOM 195
Решая секулярное уравнение, находим значение Е:
Е - ~(Е+ + ?_) -f- zt
+ j/"± (Е+ - ?-)2 + 2ГП - ¦Е->+ Т ^^о-
Рассмотрим предельные случаи.
а) В случае слабых полей, т. е. при [A0s%?<d?'+ - Е_ для энергии
получаем следующие выражения:
E = +
Е = Е_ - <Шн>п}2ГГ1-
Первое значение энергии соответствует энергии п-го уровня состояния с у =
/ -(-1/2, авторов с у = /- 7г (см. задачу 46 § 7).
б) В случае сильных полей, т. е. при ]а0<$?6'^>Е+- Е_
Е = 1 (?+ + ?_) + ± 1 ± 2Tfl (?+ - ?-)'
Обозначим через Ес энергию центра тяжести уровней в отсутствии поля, т.
е.
_Е+ (/+!)-?_/ с 2/+1
(статистические веса состояний с Е+ к Е_ относятся друг к другу как а
через AZ: разность Е+ - Е_. В но-
вых обозначениях ? будет иметь вид
Е = ЕС+ зен {щ ±4) ± 2ГТГ + т) •
Это выражение, как легко убедиться, тождественно с выражением задачи 53 §
7.
Верхний знак соответствует состоянию с = wtj- V2, ms = 1/2, а нижний -
