Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
формы S2(x). Из равенства (2) следует поэтому, что
g*-i - lgl-1 = tgt-1.
Таким образом, матрица g преобразования sgs-1 = tgt~1 равна
g = g*~1-
(Здесь и всюду в дальнейшем g* обозначает матрицу, транспонированную к
матрице g.)
Пусть g - произвольный элемент некоторой группы и g0 - фиксированный
элемент этой же группы. Очевидно, что соответствие g' ^ g0ggol является
автоморфизмом группы. Автоморфизм, представляющийся в таком виде,
называется внутренним. Всякий другой автоморфизм называется внешним.
Автоморфизм (4) собственной группы Лоренца g = sgs-1 = g*-1,
порожденный пространственным отражением s, нельзя представить в виде
g = ?о??о1 ¦
где go - элемент собственной группы.
Это простое обстоятельство легко может быть проверено читателем. Таким
образом, автоморфизм
g = sgs-1
168 ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ч.
И
является внешним автоморфизмом собственной группы (для полной и общей
группы этот автоморфизм является, разумеется, внутренним).
Можно показать, что всякий внешний автоморфизм собственной группы Лоренца
представляется в виде
g = goSgs~igol>
где g0- собственное преобразование Лоренца. Это означает, что автоморфизм
g = sgos-1 является в некотором смысле единственным внешним автоморфизмом
собственной группы Лоренца.
Как мы увидим ниже, автоморфизм (4) играет важную роль при изучении
представлений полной и общей группы Лоренца.
2. Ортогональные системы координат. При переходе от системы координат
(xqX^Xz) к координатам (х'х^х') с помощью линейного преобразования g
матрица / квадратичной формы
S2 (х) = X2 -)- х\ + х\ X2
преобразуется, как известно, так:
I' = g*lg-
При этом матрица Г квадратичной формы s2(x) в системе координат
(x'XjXgX'j совпадает с матрицей / тогда и только тогда, когда g является
общим преобразованием Лоренца. Системы координат (x'x'x'xQ, в которых
квадратичная форма *S2(x) записывается с помощью матрицы /, называются
ортогональными системами координат в четырехмерном пространстве
Очевидно, что линейное преобразование g, задающее переход от одной
ортогональной системы координат к другой, является общим преобразованием
Лоренца. Обратно, всякое общее преобразование Лоренца преобразует
ортогональную систему координат в ортогональную.
В дальнейшем мы будем пользоваться лишь ортогональными системами
координат в нигде этого особо не оговаривая.
3. Поверхности в четырехмерном пространстве, транзитивные относительно
группы Лоренца. Компоненты связности группы Лоренца. Известно, что всякое
вращение в трехмерном пространстве любую сферу с центром в начале
координат переводит в себя, и каждые две точки на такой сфере могут быть
переведены одна в другую некоторым вращением. В связи с этим говорят, что
сферы (с центром в начале координат) являются поверхностями,
транзитивными относительно группы вращений.
Вообще, если в некотором пространстве R действует группа преобразований
G, то поверхность в этом пространстве R называется поверхностью
транзитивности для группы G, если всякое преобразование из G переводит
эту поверхность в себя, и любые две ее точки могут быть переведены друг в
друга каким-нибудь преобразованием из G.
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА
169
Посмотрим, какие поверхности в четырехмерном пространстве служат
поверхностями транзитивности для группы Лоренца.
Поскольку форма
S2 (х) = х2 4- х\ + х2 - х2
при преобразованиях Лоренца не меняется, то поверхности *)
х2 - х2- х2- х2 - const (5)
переходят при преобразованиях Лоренца в себя.
Поверхности (5) бывают следующих типов:
I. s2(x) - с<0, х0 > 0 - верхняя пола двуполостного гиперболоида.
И. s2 (дг) = с < 0, х0 < 0 - нижняя пола этого гиперболоида.
III. s2(x) = 0, х0> О- верхняя пола светового конуса.
IV. s2(x) = 0, х0 < О- нижняя пола светового конуса.
V. s2 (х) = с > 0 - однополостный гиперболоид.
VI. Начало координат х0=х1 = х2 =
= х3 = 0.
Покажем теперь, что каждая из этих поверхностей является поверхностью,
транзитивной относительно собственной группы Лоренца.
Заметим сначала, что любую точку A (xqXjXiXj) в четырехмерном
пространстве можно вращением (т. е. собственным преобразованием Лоренца,
не меняющим четвертую координату х0), перевести в правую часть плоскости
(х0х3), х3 > 0 (см. рис. 8, на котором правая часть плоскости (Х()Х3)
заштрихована). Для этого, очевидно, достаточно луч, проходящий в
трехмерном пространстве (х0 - 0) через, точку (х1( х2, х3), повернуть
так, чтобы он совпал с положительным направлением оси х3.
Рассмотрим теперь пересечения всех перечисленных поверхностей (I-VI) с
правой полуплоскостью (ХоХ3), х3 > 0. Получим, очевидно,, шесть кривых
(см. рис. 8):
I- Верхняя ветвь гиперболы: *Хо- Хз = с>0, хо > 0.
f 2 2
II- Нижняя ее ветвь: х0-х3 = с>0, х0 < 0.
Ill' Верхняя асимптота: х0 = х3, х0 > 0.
IV^ Нижняя асимптота: х0=-х3, хо<0.
*) Точнее говоря, это - трехмерные гиперповерхности. Однако мы будем
называть их, ради простоты, поверхностями.
170 ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ч. II
