Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 57

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 132 >> Следующая

элементов по k, С* -• число сочетаний из а элементов по k) и допускает
простое комбинаторное доказательство.
Вообразим три набора элементов N, А, М, содержащих соответственно по л, а
и т элементов. Набор А разобьем на две части, содержащие k и a - k
элементов. Такое разбиение можно, очевидно, произвести С* способами.
Затем k элементов присоединим к набору N и получим кучку I из п 4- й
элементов, а из остальных и набора М образуем кучку II, содержащую tn X а
- k элементов.
Рассмотрим различные цепочки Г элементов из кучки I (число таких цепочек
равно Рп+к) и различные цепочки D из второй кучки (их число равно Pm+a-
ft). Образуем теперь всевозможные цепочки вида Г X D (к цепочке Г
дописана цепочка D). Общее число таких цепочек есть
к = *
2 ^т + ч-к^п+к^л' к=О
Подсчитаем это число несколько иначе. Возьмем ряд расположенных друг за
другом tn -j- п a -j- 1 ячеек.
Произвольным образом расположим там элементы набора А. Это можно сделать
-А^+п+ч+г способом. Затем отсчитаем п свободных ячеек от левого
п. 2]
§ 10. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
159
2. Коэффициенты Клебша - Гордона для случая, когда одно из
представлений имеет вес 1 или '/г *). Выпишем значения'коэф-фициентов
Клебша-Гордона для случая, когда 1г- 1 или /2=1/2. Этот случай был нами
уже подробно рассмотрен в § 4.
I. Пусть In - 1 (а 1). Тогда I принимает значения 1 - 1г- 1, /Р -(-
1. При фиксированном т т1 принимает не более трех зна-
чений: т1 = т - 1, т., т-\- 1.
Напишем матрицу
Сп
/ ей-1, т j Dh, т-1; 11
D?iW
Dlv т-1; П
/,-Ь 1, т т - 1; 11
d 71 - 1 • tn - \
Dllm; 10 Dl^m- 1; 1,-1 \
p/,m
Dl{m\ 10
n.m
r 1; 1,-1
dIi 1, 772- rtl
Dl1m\ 10
j
•I; 1,-1'
Вычисления по формуле (17) дают (/х -/);
c,n
К {I - m) (l - m 4-1)
2Т(2Т+0 . 4+m) (J-m+о
21(1+1)
(1 + m) (l+m + О Г (21+1) (21 + 2)
l/"Ц + Д1) (l-m)
Г 1(21+1)
l/~-
Г l(l+i)
^(l+m+l) (1-ot + T)
К
( / tn) (1)
2Г(2ЩГ""
\/~(Н-т + \) (l-m) Г 21(1+1)
К
(i- m) {I- m-Y 1)
"WTi) (2/ 4* 2)
(18)
(21+1) (1+1)
II. Пусть теперь /2 = 1/з В этом случае 7 и при-
нимают значения:
1 = 1г 1;2 ИЛИ / = /1-)-1/2 и т1--
т. ¦
л/2 или т1 ¦¦
¦ т-
конца и расположим в них элементы набора N (это можно сделать Рп
способами). От правого конца ряда отсчитаем т ячеек и поместим туда
элементы набора М (Рт способами). Одна ячейка при этом останется
свободной. Все, что расположено левее от нее, объявим цепочкой Г, а
правее - цепочкой D. Мы придем, таким образом, снова к цепочке вида Г X
73-Их число будет, очевидно,
А* Р Р
т + п-i-a-И т п'
Итак, мы доказали тождество /с = "
2 ^т ¦ а-к^п-гк^* + n + н'
k =0
h = 0
{tn -j- а - k)\{n-\- k)\ a! m!n! (m -f- n -f- a -f- 1)!
k\(i - k)\ \m-\-n-(-1)1
*) Напомним, что эти коэффициенты были уже нами вычислены в части I, гл.
2, § 4, п. 4. Мы приводим их здесь еще раз для полноты изложения, при
этом коэффициенты = - 1; г ~ ^ соответ-
ствуют коэффициентам C"r (р - 1, 2, 3; r= 1, 2, 3) в обозначениях
упомянутого пункта.
160 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
[Ч.
Для матрицы
d/j-¦/?, га д7,
Dt" m-'js', Jkt 1/2 ?i. m+Vs! '/г,-Vs
d6 + </2, m d' 1 + V2, m
•7i, гге -I/*" '/2' '/2 If to + Vs! Vs>-'/s
получаем следующее выражение:
7 - m
С =

2'-
2/+ 1
2/+ 1
Vs у7":
(19)
3. Симметрия коэффициентов Клебша - Гордона. Заметим, что коэффициенты
Клебша-Гордона обладают двумя соотношениями •симметрии относительно пар
(/, /и), (/р m^{l2i Щ).
I. Совершенно очевидно, что
Б 1т __ aim
liWu l2m2 -
II. Гораздо менее тривиальными являются соотношения
г 2;1 + 1
об(tm), __________ / 1 б (tm) з
?>Zm; /2,-та - (- Ч
2/+ 1
nlrn ' hrriit
BJChn,i lm = (- O'
I i\Z_Za~ra'l/ 2^;+ 1
F 2/+ 1
nlm
(20)
получающиеся перестановкой нижних пар индексов с верхней парой. Эти
соотношения могут быть получены непосредственно из формулы (17). Применим
их к вычислению коэффициентов
В
Ь- 1
1-\-к\ т + б\ Х,-т\
(* = -1, 0, 1; s = -1, 0, 1).
Эти коэффициенты встречаются при выделении неприводимого представления с
весом 1= 1 из произведения двух представлений с весами I и l-\-k (k = -
1, 0, 1).
Имеем:
рЫ / 1 \Z r& -
°1 + к,т+а\1,-т - Ч
1+к, т±з
Коэффициенты
/ Rl + Jr, т J I&1т-, Id
(А= -1, 0, 1; s = - 1, 0, 1)
мы уже вычислили в предыдущем пункте. Напишем матрицу
d1 < - 1
Dl - I, m - 1; I, -m
d1 , - 1 /, w-1; Z, -ттг
d1> - 1 2 + 1, w-l; Z,-w
dIO Z-l, m; Z,-m
dIO lm; l, - m
dIO
°Z + 1i m; I, -m
Bn
dIJ
°Z, i"+l; Z,-?n
fi-
ll
2+1, m+1; 2, - m
(21)
п. 4]
§ 10. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
161
Вычисления с помощью соотношений (20) дают для этой матрицы выражение
V
- 1) (1-тт)
27(2/+Т) (27-1)"
-V
(1 + т)(1 - т)
(1 + т) (1-т + 1) _
У (2г+1)2/(г+1)
|/~~ (l-m)(l-m+W У (2! + l)(2+2)(2Z + 3)
У(2/+1) Дг + 1)
V
(T+m+ !)(/ - т + 1)
l У (21-
V
VI
1) (21 + 1)21
(l + m + l)(l - m) 21 (1+1) {2l+i)
+ m + 1) (1 + m + 2)
(2i + l)<I + l) (2( + 3) f (21 + 1) (21 + 2) (21 + 3)
(22)
4. Переход от канонического базиса в /?х X Rz к базису f?*/*}.
В заключение приведем формулы, выражающие базис {^Лва} =
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed