Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
148 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Коэффициенты \в\*+к, т+.% г, (s=l, 0, -1; к - 1, 0, -¦ 1) являются
коэффициентами Клебша - Гордона. Используя формулы (22) § 10, п. 3,
имеем:
go (/- 1, Г, ft') = аМ)(/) У 2 2 (_1)кг + У(7^0(Г^) fi_lt ,
Г/l
g+(l- 1, г, ft') = а(-1}(02 (- il-rn-1 j ?j_lp m+iTj,'_m ,
W
g_(7- 1, r, ft') = "M)(0S(- 1)"У(7+т-1)(Z-j-m)??_!."_,т?_}П .
где ______
(i) = уз (_ /'^ZT5f=T).
Аналогично для RjXRi g0 (ft; ft') = a<°' (/) У 2 2 (- l)"i+1 g+ (ft; ft')
= a<(r)> (0 2 (- O'" У7 g_ (ft; ft') = a<"> (/) 2 (- l)m + 1 У(/Т-щ)(7^щ+1)
E|,
a(0> (/) = У"3 (- 1) ]/" (27^1)^2777+17 и для Ri+iXR'i
go (z + b 7x') =
= a"+) (О У 2 2 (- 1Г V(l + m + W - m+T) E?+,, ",.
g+{t+ i, x; ft') =
= a<f) (/) 2 (- 1)"* У (7 7~ m 4" 7 (7 H~ m 7" 2) 7+ i, mi дт; i,~m,
g_ (7+ 1, t; ft') =
= (- l)m У(Т-т+1)(/ - m + 2) 7+1, " .
aft)(7) = (-1) УЗ j/~ (2/+ i) (21 + 2)(2/+ ЗУ'
Как мы уже говорили, комбинации этих векторов вида (27)
4 =2 diU.igoi!- 1. ft')7-
+ ^"Vo(ft; /хО-МгУ.гйЪ^-Н. ^ 7т'),
А+=24-1,г§'+(7-7 х; ft') +
+ rf?Jg+(ft; ft')-f-d7i, ?§¦+ (7+ 7 х; ft'y
7-- = 2 с/г-i, г S'- (7- 1, х; ft') -f-
+ g- (ft; ft') + rfj+i, ig- (7+ 1. x; 7x')
(27')
П. 7] § 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 149
являются снова каноническим базисом в некотором трехмерном неприводимом
подпространстве. И наоборот, канонический базис во всяком неприводимом
подпространстве в R X R с весом I = 1 имеет вид (27').
Таким образом, искомые векторы L0, L+> L_ из R X R запишутся
L0- 2 (-1 У [CZ-1, Z У^2- т'Щ, -т~\-
т, т, , I
+ Cji _m ci+i, i У (Im "I- 1) {I- m-\- l)q+i, mri
?^ = 4= S (~ О" l-ci-i, г - я+1т$',-т -
V 2 "
m, tj t j I
- cll V((m "h 1?Z, m+l'O.-m -f-
0+1, I У (( ZM -j- 1) (/ tn -(- 2) sj + i, ro+l'O.-m].
У =-Ц У) (- 1)м [- сГ-'i. iV(l + m- 1)(7 + m) У i, w-i7iz,'-m +
+ c"bl V"- /Я -)- 1) ?/, ~f~
+ 0+i,z У(/-/n + 1)(^- m + 2);z+i,m-i7]j'-"i]. Здесь введены обозначения:
cF-u = -йГ-1,1а(_1,(0/2,
СП =-^'a(0)(OV~2,
O+i, г - di+i, ?a<+')(/)/2.
Отсюда для элементов матриц L0 = Z,3 в инвариантном уравнении получаем:
0-1, яг; Zm = Oil, г УР /И2,
От; 1яг -- Ol /П,
0 + 1, и"; 1яг == 0+1, г У(/ -)- HZ -j- 1) (Z - ttl -)- 1),
что совпадает с формулами (8).
Аналогично пишутся элементы матриц Lx - Ljr и Т,2=У + ^.
7. Инвариантные уравнения с х = 0. Все предыдущие рассуждения и
результаты относились к уравнению вида (21) с константой х Ф 0. Они,
разумеется, применимы и к случаю х = 0. Но оказывается, что при х = 0
появляются существенно новые возможности для построения инвариантных
уравнений.
150 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Заметим только, что инвариантные уравнения с х = 0 в приложениях почти не
встречаются. Мы излагаем здесь этот случай в основном для того, чтобы
подготовить читателя к аналогичному случаю релятивистски-инвариантных
уравнений с у. = 0 во второй части книги, а эти последние уравнения важны
для теоретической физики.
Выясним, прежде всего, каковы условия инвариантности уравнения с у = 0.
Пусть задана система уравнений
Заметим с самого начала, что в отличие от случая у 0 матрицы Lv L2, L3 в
этой системе не обязательно квадратные; другими словами, число уравнений
в системе (28) может не совпадать с числом компонент функции ф.
Положим, как мы это делали ранее,
Таким образом, получаем, что функция 'У (х) удовлетворяет урав-
Предположим теперь, что существует некоторое невырожденное преобразование
V д такое, что
Если преобразование Vд существует, то это значит, что уравнение
(29) эквивалентно уравнению
т. е. после замены x = gx', <1/ (х) = Тд$(х') уравнение (28) не
изменилось. В связи с этим уравнение вида (28) является инвариантным
относительно группы вращений, если при одновременной замене х = gx' и у
(х) - (х') преобразованное уравнение с точностью
до невырожденного преобоазования Vg совпадает с исходным.
(28)
Тогда
<!/ (x)=Tgii(g-'x).
если
x' = g-lx.
нению
(29)
т. е.
2 VgLltTg gik - к
f
П. 7] § 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ
151
Заметим, что в случае уравнения с х^=0 преобразование Vд по необходимости
совпадает с преобразованием Тд.
Для матриц Lv L2, L3 в инвариантном уравнении получается соотношение
где Тд-матрица представления g->Tg, Vg - матрица невырожденного
преобразования. Легко проверить, что соответствие g-^Vg является
представлением g->-Vg, действующим в некотором пространстве R, вообще
говоря, отличном от пространства R, в котором действует представление g->
Тд.
Таким образом, мы получили, что уравнение
инвариантно относительно группы вращений, если наряду с представлением g
-у Тд> преобразующим функции ф, существует представление g -д,
преобразующее само уравнение и такое, что
Это и есть условие инвариантности уравнения (28).
Из этого условия видно, что матрицы Ll, L2, L3 получаются из разложения
на неприводимые произведения двух представлений
где g-+Tg-представление контрадиентное представлению g^*Tg (т. е. матрицы
этих представлений Uд и Ug связаны в некотором базисе с отношением Ug =
