Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
лучей, в частности преобразование из собственной группы Лоренца, задает
некоторое преобразование точек гиперплоскости
х0 = у; обозначим его через Г. Так как при преобразовании Г прямая
переходит в прямую, а плоскость - в плоскость, то преобразование Г-
проективное. Световой конус преобразованием Лоренца переводится в себя, а
это значит, что преобразование Г в гиперплоскости х0 = J. оставляет на
месте сферу/, определяемую уравнениями х? х2, -j-xt - \. хо-у} • Итак,
каждому преобразованию
g из собственной группы Лоренца отнесено преобразование g сферы I в себя.
Так как преобразование g порождено проективным преобразованием
трехмерного пространства, то оно, очевидно, переводит окружность на сфере
в окружность и не меняет ориентацию на ней.
Рассмотрим, как и раньше, стереографическую проекцию сферы
на плоскость Т, касающуюся ее в точке ^0, 0, -yj, расположенной на оси
х3; (в трехмерной гиперплоскости х0 = у естественным
образом вводятся координаты хъ х2, х3). При стереографической проекции
сферы на плоскость Т окружность перейдет в окружность или прямую и
наоборот: всякая окружность и прямая на плоскости Т являются образами
некоторой окружности на сфере.
Всякое преобразование сферы g, переводящее окружность в окружность и
сохраняющее ориентацию (в частности, преобразование, порожденное
собственным преобразованием Лоренца), задает с помощью стереографической
проекции преобразование а
180
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
плоскости Т, переводящее окружность и прямую в окружность или прямую (с
сохранением ориентации). Если рассматривать плоскость Т как плоскость
комплексного переменного z, то всякое такое преобразование, как известно
из теории функций комплексного переменного, есть дробно-линейное
преобразование плоскости z:
Таким образом, преобразованию g сферы /, а следовательно, и собственному
преобразованию Лоренца g, соответствует дробно-линей-
самым и самая матрица а, определенная с точностью до множителя. Множитель
выберем так, чтобы определитель матрицы был равен 1. Тем самым мы
определим матрицу а с точностью до знака. Эту последнюю неопределенность
исключить уже нельзя.
Итак, установлено соответствие g^zha между преобразованиями Лоренца и
определенными с точностью до знака комплексными матрицами второго порядка
(deta=l).
Заметим, что в наших геометрических построениях вращениям трехмерного
пространства (х1х2х3) соответствуют просто вращения сферы /. А вращение
сферы / на плоскости при стереографической проекции порождает дробно-
линейное преобразование с унитарной матрицей, как это было показано в § 2
первой части. Таким образом, вращениям g соответствуют унитарные матрицы
а.
6. Группа Лоренца как группа движений в пространстве Лобачевского. В
предыдущем пункте мы установили, что собственная группа Лоренца изоморфна
группе проективных преобразований трехмерного пространства, переводящих
некоторую сферу в себя. Пользуясь этим, мы покажем сейчас, что группу
Лоренца можно считать группой движений пространства Лобачевского.
Для этого рассмотрим предложенную Бельтрами и Клейном модель геометрии
Лобачевского. В этой модели точке пространства Лобачевского соответствует
внутренняя точка некоторой сферы / трехмерного евклидова пространства,
прямой-хорда этой сферы, а плоскости - часть плоскости внутри этой сферы.
Расстояние между точками А и В определяется так: пусть Р и Q --точки
пересечения хорды АЗ со сферой /, тогда за расстояние р (А, В) между А и
В принимается логарифм двойного отношения точек
При этом движения пространства Лобачевского, т. е. такие преобразования,
которые не меняют расстояний, в нашей модели получаются с помощью
проективных преобразований трехмерного пространства, переводящих сферу /
в себя.
Таким образом, группа движений пространства Лобачевского изоморфна группе
проективных преобразований трехмерного пространства, переводящих
некоторую сферу в себя. Последняя же, как было показано в предыдущем
пункте, изоморфна собственной группе Лоренца. Итак, получаем, что группа
движений пространства Лобачевского изоморфна группе Лоренца.
Последнее обстоятельство, естественно, наводит на мысль построить модель
пространства Лобачевского на поверхности транзитивности собственной
aZ + Р
iz+b-
ное преобразование плоскости 2 с матрицей а =
а тем
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА
181
группы Лоренца. Оказывается, что такую модель можно построить на верхнем
поле гиперболоида
х20 - х1~ хг - xl= L (13>
Опишем коротко эту модель.
"Прямой" в этой модели назовем гиперболу, получающуюся в пересечении
гиперболоида (13) с плоскостью, проходящей через начало координат;
"плоскость" пространства Лобачевского - это пересечение трехмерной
гиперплоскости, проходящей через начало координат с нашим гиперболоидом.
Если две плоскости в hi и /г2, проходящие через начало координат,
пересекаются по прямой I, проходящей внутри светового конуса и,
следовательно, имеющей общую точку с гиперболоидом (13), то
