Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
равным 1, отнесли преобразование Лоренца ga, причем соответствие а <-> еа
обладает следующими свойствами:
'>(1!)-
^ gалёа^ ёа,аУ
3) двум различным матрицам at и а2 соответствует одно и то же
преобразование ga = g , в том и только том случае, когда эти матрицы
отличаются знаком: аг - - а2.
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА
175
Из первых двух свойств следует, что совокупность преобразований ga
образует подгруппу общей группы Лоренца. Обозначим ее через Ga. Покажем
сейчас, что эта подгруппа совпадает с собственной группой Лоренца.
Заметим, что группа 21 комплексных матриц второго порядка с
определителем, равным 1, связна *). В таком случае связна и подгруппа
преобразований Ga. Следовательно, эта подгруппа содержится в связной
компоненте общей группы Лоренца, содержащей тождественное преобразование
е. Как мы видели в предыдущем пункте, такой компонентой является
собственная группа Лоренца.
Итак, подгруппа Ga преобразований ga содержится в собственной группе
Лоренца. Покажем, что она с ней совпадает. Подсчитаем для этого число
независимых параметров, которыми определяется элемент группы 21
(размерность группы 21). Каждая комплексная матрица задается восемью
действительными числами. Так как требование, чтобы deta=l, накладывает
два условия на эти числа: Re det а = 1; lm det а - 0, то из них остаются
шесть независимых.
Таким образом, элемент группы 21, а следовательно, и подгруппы Ga,
задается шестью независимыми параметрами. Элемент собственной группы, как
мы видели, зависит также от шести независимых параметров. Отсюда следует,
что подгруппа преобразований Ga и собственная группа имеют одинаковую
размерность, а так как при этом первая группа содержится внутри второй,
то они совпадают **).
*) Докажем связность группы 21. Рассмотрим восьмимерное вещественное
пространство R(8) всех комплексных матриц второго порядка. Уравнение det
а - 0 выделяет в этом пространстве шестимерную поверхность (det а = О
означает два условия Re det а = lm det а - 0). Так как размерность
поверхности на две единицы меньше размерности пространства, то она не
разделяет пространства /?(й. Таким образом, любые две матрицы ах и а2 с
определителем, отличным от нуля, могут быть непрерывно соединены друг с
другом кривой a (t), не пересекающей поверхности deta = 0: а(0) - аь а(
1) = йг и det а (()Ф0.
Пусть теперь ах и д2 принадлежат группе 21, т. е. det ах - det e2 = 1;
деформируем нашу кривую а (1) так:
a' (t) = 1 . a(t).
det a (t)
Очевидно, что кривая а' (t) непрерывна, соединяет ах и д2 и принадлежит
целиком группе 21. Таким образом, любые две матрицы ах и д2 из группы 21
могут быть непрерывно соединены друг с другом кривой, также принадлежащей
группе 21, т. е., другими словами, группа 21 связна.
**) Действительно, поскольку тождественное преобразование е (единица
группы Лоренца) принадлежит подгруппе Ga, то вместе с ней, в силу
совпадения размерности, Ga принадлежит и целая окрестность е. Нетрудно
показать, что по всякой окрестности единицы группы ее связная компонента,
содержащая единицу, восстанавливается однозначно (см., например, Л. С. П
о н-т р я г и н, Непрерывные группы, Гостехиздат, 1954, гл. III, стр.
138). Из этого следует, что Ga совпадает со всей собственной группой
Лоренца.
176
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ- ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
Подведем итог всему сказанному.
Мы построили соответствие a~ga между собственной группой Лоренца и
группой 21 комплексных матриц второго порядка a (det а = 1) так, что
каждой матрице а соответствует одно собственное преобразование Лоренца ga
и каждому такому преобразованию g отнесены две отличающиеся лишь знаком
матрацы, -\-а и -а. Построенное соответствие таково, что единичной
матрице отнесено тождественное преобразование Лоренца, а произведению
матриц аг и аг соответствует произведение преобразований Лоренца: a{aQ ~
ga gv
Сделаем два важных замечания.
I. Пространственное отражение s не принадлежит собственной группе Лоренца
и ему, следовательно, не соответствует никакая матрица а. Однако с
отражением s мы можем связать некоторое преобразование (автоморфизм)
самих комплексных матриц второго порядка. Действительно, выше мы видели,
что с помощью отражения s можно построить автоморфизм собственной группы
Лоренца
sgs~1 = (g-T1-
Этот автоморфизм собственной группы естественным образом переносится и в
группу комплексных матриц а с определителем, равным единице, а именно,
если собственному преобразованию Лоренца g+ соответствуют матрицы второго
порядка Дг а, то собственному преобразованию sg^as~l соответствуют
матрицы -'-(а*)-1.
Другими словами,
sSas 1 =
или, иначе,
(^а) == ^(а*)-1 '
Действительно, как мы только что видели, собственные преобразования
Лоренца можно рассматривать как преобразования в пространстве эрмитовых
матриц второго порядка, задаваемые формулой
с'- аса*, (10)
где а-комплексная матрица второго порядка и deta=l. Найдем, как
преобразуются матрицы с при пространственном отражении
