Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 56

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 132 >> Следующая

С!]$ #о ( 1) С(xi
где С,-число сочетаний из а элементов по k. Отсюда
xb f:Га_а = а0 2 (- 1 )'Cj[SI,_fcT],,",+ft. (9)
Если индексы векторов ?? и yf формально понимать как степени
.переменных \ и 7], то вектор Хо4^-" запишется в следующем виде:
xYh~* = a* (5 - т1)"6,1_'тч*,"". (Ю)
п. 1] § 10. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 155
Для ТОГО чтобы получить векторы + xl' ! И т. д., нужно
1+1-9.
к вектору Хй а последовательно применять оператор Н_. Для этого найдем
правило, по которому оператор Н_ действует на вектор 44 (к >-/).>- - к>
- кк
HjPrf = (р -|- к) V + к + к) Чрг*-К
Если выражение 44 снова формально понимать как произведение степеней
переменных $ и к;, то оператор Н_ можно, очевидно, записать:
# _44 = + (~ -f- (4444)-
И вообще, если имеется выражение
Р (к г,) = S Apt (к>Р>~к. k>t> - к),
то
Н_Р(к r^ = -"lirrh(j(^44
Далее, очевидно,
HlP
Таким образом, для xlJ+li"x имеем:
l<^U - a jr', - а ап) ,-г \<Xylt - 7. - у
4 =Н-Хо =a0H_(z-rl) 4 тД ,
ИЛИ
=osrS_l,(|+^)Ъ-т/1я*-вт(я-в].
Заметим, что 1 Поэтому
ху1'-'=c&s~h (5 - 4" =
_ г--г ча / V* д3?а'-у1,"Л
, <'-r>[Lc'ww=Tj-
= а0^ - г^^Ср(2к - о.)...{2к - о^ - рф-1)(2к - а) ...
. . . (2/2 - а - 5-)-^+ 1) • 4-*~р-^-а'3+:Р].
Заметим, что
(2;,-"> ¦ ¦ ¦ <2i- -"- р+1 > = (2/фФф ¦
(21г - а) . .. (2/8 -а -s4-j?4-l) = . (2'2~")!
(2^ - а-}-S-р)\
156 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I Условимся при
этом считать X - о при k < 0. Пишем, далее,
h+h - "__
Ха UQ
ИЛИ
J,+h-" "" V1 / (2^i - =0! (2h - ")• th-p-ь \/
Xs -a°2d{ ' LaCs (2ф - 7 - p)l(2l2 - зф-s - р)! ' X
. у ^Za-a-s + p-l 7c _
Положим k-\- p - п. Получим:
li + U-л___
Л8 -
- X V z ,уг-1> "1 sl (2/! - Я)1 (2/s - Я)1 "-""+"
a* U К > (п-р)\ (а +р-П)\р\ (s-p)\ (2l1-a-p)l (21г-я+з-р)1 ^
ИЛИ
11 - (r) ___ V 'Г' - - ^ ^2- ^ " S"b Я /104
Л-g i fi ? Т| , V^/
где
<7ib'i ОС _
* rt -
a! s! (2/ - 7)! (2/o - a)!
= ao"S(-ir
(n p)l (a+p-n)\p\ (s - P)\ (2/*-=c-/>)! (2/2-a-s-f-J?)! •
p
(13)
Сумма берется по всем тем значениям р, для которых ни одна скобка в
знаменателе не отрицательна.
IV. Перейдем теперь к прежним ортонормированным базисам
|ея,1' {Дг2}' {^т}'
Положим Ij - n = mlt /2- a-ф-ге- s - m2, Zi + /2- а -/ и s - l - т.
Перепишем формулу (12)
I V7 rpl-m, 12+7^ш1 .т2 Шцъ
Xs-li -Mi *5 Ч °"г, Wi+m"'
Вместо xlt, с,т' и tf1* подставим их выражение из (7), (2) и (5):
а1 "т -- y,Z-то, С,+?а-I Z, Za л 5, я5! 1 h-m, (то, l""a emiJm!,am,
т,+тг
Отсюда получаем необходимые нам коэффициенты
т1-т, 7,+7а-Z Z, Za о'"" Zi-m, Im.lmi ,, ..
В1рпй hPh - '-------------------> (14)
П. 1J § 10. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 157
где определяется формулой (13). Полученное выраже-
ние мы должны преобразовать так, чтобы оно явно зависело от чисел I, lv
/2, т, m-i, т2.
Выпишем предварительно коэффициент . Согласно (13)
имеем:
rpl-m, +
П
Р
-шх-р)\ р\ -\-р-/)! (/-ш-р)\ (/-f-/1-Л>-р)\ (/о-1х-\~тп~\~р)\
или, полагая lx-тх-p = z,
а"л, 4- и - 1)1 (I - т)\ (/ + /,- l2y. O+lj- /Q!
*тч/- ??2, - ?
J I- ТПу -
=":2дт
(-1 f (/, +- Ql (/ - туи + к -'¦" Ч + к - It)'.
! (/j--z)\ (/.,-[-/1-/-2')! (/-1\-/w2-f-,?)!(/ -Xfmi4-.?)!(/,-fm, г)!
(15)
Отсюда, подставляя в (14) значения ^ , у'*, а1т и 7|~^ 1.+Ъ-1 из (4), (8)
и (15), получим:
aim ______
_ а*( у______________________________till_____________________________ V
и°\ г! {l^-nii-zW'L+h-l-z)'. {l-^-mi+zy.il-l^nii+zy. (1г+щ-г)\ J л ч, /*
(Zt + /nt)!(/t -"г,)!(/2 + т2)!(/2 -?н2)!(/ + ?н)!(г -т)! w
ХК (2/0! (2/2)! (2/)! Х
X - (г)- (16)
Остается определить константу а"- Ее нужно выбрать так, чтобы базис [glm}
был ортонормированным.
Вернемся к формуле (9) для x,Qi+li~'x~g\
gj = x,^+la~:'-^= a* ^ ( 1)* СЧ,1>~к Ti^-"+fr,
или
?i _ fl. v (_ 1 fck т/'ЖМЕ*) ^ТЕЕШШЕЕЕЕШ e, , /, *
; * F (2/0! f (2/2)! eh-*JU-*-ik-
Пользуясь тем, что векторы ?;,-*//>-"+* ортонормированы и ||^jj=l,
получаем:
а0
или
" /V /^г*!(2/1 -*)!("-*)! (2/s - <x + fe)!\-4 -\^VC") (2/0! (2/2)!
j
(2/0! (2/3)!
а* - У (2/! - ?)! (2Q - з -j- /г)!
Г v¦> -Zd k\(a - k)\
158 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Для вычисления суммы в знаменателе воспользуемся следующим тождеством:
V4 (т + а - k)\ (п k)\ mini (т -f- п + а -j- 1)! ^
м1 fe! (а - k)\ а\ {тп-\-\)\ ''
к^ О
Положив т = 21х- а и п = 212 - л, получаем:
v (?к - А)! (2/3 - a + й)! _ (2/г - а)! (2/, - а)! (2/, + 2/2 - а X 1)!
^ Й! (а - k)\ а! (27г -f- 2/о - 2а+1)!
Окончательно, пользуясь тем, что a = -f- /2 - I, получаем для ао
выражение
(2кУ- (2/5)! (21 -+-1)!
(/ + к - 1г)1 (I + /г - .'i)l (/i -f ^ + / + 1)! Ui + /- - 01 ' Подставив
в выражение для коэффициентов Клебша-Гордона, имеем окончательно:
в&А", = V(i^J^T+Г) ^ - 0! (/ + к - 0)1 (/ +
О ~ 0)! X
X УЮ + МхЖО- ягОКО + МгЖО - т2)К^Н-")!(/ - m)! X
(~1)г \
г! (l-i-mi-2)1 {l^lx-l-z)\(l-lx-m2~yz)\ {I-! *-\-тх-\-г)\ z}\j'
(17)
*) Это тождество может быть переписано в пиде
к = а
V р Р ,Ск = Аа Р Р
1 т + <х - к' п + к a ¦r\rt+!i + a + lI m'n
7с =0
(Pg - число перестановок из s элементов, - число размещений из /
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed