Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 64

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 132 >> Следующая

Xq ->¦ Xtyt х± -'- X^t Х2 -^ X%t х% -^ х$"
Очевидно, что при отражении s матрица с переходит в матрицу с' так:
*0 -*8 jc2 ¦- ix 1 1 1 •*¦0 "Ь *3 x4 1*1
Х<> -j- iXf x0 + x3 1 - X2 - lxt Xq - XS
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА
177
Легко проверить, что с' можно записать в виде
с' = тст~1, (11)
где т =
, а черта означает комплексное сопряжение. Таким
0 1
1 О
образом, пространственное отражение порождает в пространстве эрмитовых
матриц преобразование (11).
Пусть собственному преобразованию ga соответствуют матрицы ztfl. Найдем,
какие матрицы соответствуют преобразованию
g*~l = sgas~K
Для этого, пользуясь формулой (11), преобразуем последовательно матрицу с
с помощью s_1, ga и s. Получим:
с' = т [а (т хс т) а*] т 1
или
с' =
Отсюда мы видим, что преобразованию sgs~x соответствует матрица тат-1,
т.' е.
sgtS~x = g - _i-
хах 1
Легко проверить, что если det а- 1, то
¦^¦Л1 = (аб)-Х. (11')
Таким образом, мы получаем:
С O' С - 1 (У
аь - ь ,
(а*)"1
или, иначе,

Л. Вращения g в трехмерном пространстве х0 = 0 образуют, как мы знаем,
подгруппу собственной группы Лоренца. Отсюда следует, что те комплексные
матрицы а, которые при нашем соответствии ga--¦а отвечают вращениям g,
также образуют подгруппу в группе всех комплексных матриц второго порядка
с определителем, равным 1. Сейчас мы покажем, что эта подгруппа совпадает
с группой всех унитарных матриц второго порядка с определителем, равным
1. Иными словами, в построенном нами соответствии ga~ а между
комплексными матрицами второго порядка с определителем, равным 1, и
собственными преобразованиями Лоренца, унитарным матрицам а соответствуют
вращения ga в трехмерном пространстве хо = 0, и наоборот, каждому
вращению g отвечают две, отличающиеся знаком, унитарные матрицы -+- а с
определителем, равным единице.
178
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
Действительно, пусть комплексная матрица а является унитарной, т. е. а*~1
= а. Тогда преобразование (10) в пространстве эрмитовых матриц с можно
записать в виде
с -аса-1. (12)
Но при всевозможных преобразованиях вида (12) у матриц с сохраняется след
(сумма диагональных элементов), т. е.
(хо ~Ь К) (ха - х'з) ~ (хо хз) + (х0 - Д'з),
откуда
х'0 = Последовательно, соответствующие преобразования Лоренца не меняют
четвертой координаты х0 и являются вращениями в пространстве х0=0. Итак,
мы показали, что унитарным матрицам соотгет-ствуют вращения в трехмерном
пространстве х0=0.
Покажем, что и, наоборот, всякому вращению g соответствуют две унитарные
матрицы второго порядка ±3 с определителем, равным 1.
Рассмотрим для этого те вращения ga, которым отнесены унитарные матрицы
а. Очевидно, что все такие вращения ga образуют подгруппу Ga группы
вращений. Размерность (число независимых параметров) этой подгруппы,
очевидно, равна трем, поскольку она совпадает с размерностью группы
унитарных матриц второго порядка с определителем, равным 1. Размерность
группы вращений трехмерного пространства, как было показано в первой
части, также равна трем. Таким образом, подгруппа Ga имеет ту же
размерность, что и вся группа вращений, а следовательно (в силу того, что
группа вращений связна), совпадает с ней. Итак, каждому вращению
соответствуют две, отличающиеся лишь знаком, унитарные матрицы с
определителем, равным 1.
5. Связь между собственной группой Лоренца и группой комплексных
матриц второго порядка с определителем, равным единице (другое изложение)
*). В предыдущем пункте мы установили связь между собственной группой
Лоренца и группой комплексных матриц второго порядка a, det а- 1, тем,
что каждой такой матрице отнесли собственное преобразование Лоренца.
Теперь поступим наоборот: каждому собственному преобразованию Лоренца
поставим в соответствие две (отличающиеся лишь знаком) матрицы второго
порядка с определителем, равным 1. Мы построим это соответствие чисто
геометрическим путем.
Напомним вначале, как было установлено соответствие между вращениями
трехмерного пространства и дробно-линейными преобра-
*) При первом чтении этот пункт можно опустить.
п. 5] § I- ГРУППА ЛОРЕНЦА 179
зованиями комплексной плоскости. Для этого устраивалась стереографическая
проекция сферы на комплексную плоскость. Тогда всякое вращение сферы, как
было показано, порождает в комплексной плоскости дробно-линейное
преобразование с унитарной матрицей. Рассмотрим аналогичную конструкцию
для группы Лоренца.
Рассечем световой конус х\-х\ - х\- xl = 0 гиперплоскостью jc0=-i-. В
сечении получается трехмерная сфера I диаметра 1:
xi + х\ + Хз = \, А'0 = у. В гиперплоскости х0 - у зададим проективное
преобразование следующим образом. Всякий луч, выходящий из начала
координат и пересекающий эту гиперплоскость, под действием собственного
преобразования Лоренца перейдет в луч, снова пересекающий эту
гиперплоскость (поскольку направление осп времени не меняется). Каждому
лучу соответствует в гиперплоскости
х0 = •>,- точка его пересечения с нею. Тем самым каждое преобразование
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed