Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
А/, которое претерпевает интеграл / при переходе от системы Кх к
бесконечно мало отличающейся от нее системе К2. Обозначив черва ДФ
приращение, которое получает произвольная относящаяся к некоторой точке
пространства величина Ф при этом преобразовании, согласна соотношению
(17), сначала имеем
Приращение Ag^v, в силу закона преобразования (8), можно выразить через
приращение Дд^, где
личин и их первых производных -f-- , которые мы для краткости
ОХ-
о
обозначим также через gaV. Обозначим символом / интеграл
(61>
А (У-~ ?dt) = О
(62)
и, далее,
(62а)
ДЖ[а - х^ Ху
Тогда получим
дАх,
дАх
Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
Соотношения (62а), (63) и (63а) представляют ЛЯ в виде линейной
однородной функции первых и вторых производных от по координатам.
До сих пор мы не налагали никакого ограничения на вид зависимости
величины Я от g^ и g?v. Теперь мы примем, что Я представляет собой
инвариант относительно линейных преобразований, т. е. ДЯ должно обра-
щаться в нуль, если исчезают вторые производные ^ ^ . При таком условии
получаем " 6
Интеграл F можно преобразовать в поверхностный, который обращается
дАх
в нуль, если на границе равны нулю величины Ах^ - дх • .
Приспособленная система координат. Рассмотрим опять часть 2 нашего
пространства, конечную по всем координатам, и будем относить ее сначала к
системе координат К. Отправляясь от этой системы координат К, представим
себе, что последовательно одна за другой вводятся бесконечно близкие
системы координат К', К" и т. д. такие, что при пере-
обращаются в нуль. Все такие системы-назовем "координатными системами с
совпадающими граничными координатами". Для каждого из бесконечно
д2Ах,
(64)
С помощью формул (64) и (62) находим
отсюда после интегрирования по частям получаем
(65)
Здесь мы ввели следующие обозначения:
(65а)
дН V^-g д
dgдха дх.
'а
ходе от одной системы к следующей величины Ах^ и -~-------- на
границе
а
308
29
Формальные основы общей теории относительности
малых координатных преобразований между соседними системами семейства К,
К', К",... имеем
F = 0,
так что вместо равенства (65) получим
-L Д/ = _ ^ drkx^B^. (66)
Среди всех систем с совпадающими граничными координатами имеется такая,
для которой интеграл / имеет экстремум по отношению к
значениям
I для всех соседних систем с совпадающими граничными координатами;
такую систему координат мы назовем " приспособленной к гравитационному
полю системой координат". Для приспособленной системы, в силу равенства
(66), выполняются уравнения
Вц = 0, (67)
поскольку ts.xv внутри области 2 могут быть произвольны. Обратно,
равенство (67) является достаточным условием того, чтобы система
координат была приспособленной к гравитационному полю.
Если мы ниже установим дифференциальные уравнения для гравитационного
поля, которые выполняются только в приспособленной системе координат, то
тем самым нам удастся избежать трудности, на которую было указано в § 13.
Действительно, благодаря ограничению приспособленными системами координат
заданную вне области 2 систему координат нельзя непрерывно продолжить
внутрь 2 произвольным образом.
§ 14. if-тензор
Соотношение (65) приводит нас к теореме, которая имеет фундаментальное
значение для всей теории. Если мы изменим гравитационное поле,
соответствующее значению gна бесконечно малую величину, т. е. вместо gv-v
возьмем gixv -f- 6^\ причем 8g^ должно исчезать в зоне конечной ширины,
прилегающей к границам области 2, то Н переходит в Я + б Я, а интеграл /
переходит в / + б/. Мы утверждаем теперь, что уравнение
Д {61} = 0 (68)
остается выполненным, причем величины 6gixv также могут быть
произвольными, если только системы координат {К1 и К%) являются
приспособленными координатными системами для исходного гравитационного
поля, т. е. при ограничении приспособленными системами координат величины
б/ представляют собой инвариант.
24 а. Эйнштейн, том I 368
формальные основы общей теории относительности
1914 г.
Для доказательства представим себе, что 6gsAV состоит из двух частей, и
запишем
bgv-v = 6^ + б 2gv-\ (69)
причем обе части вариации выбираются следующим образом.
а) Пусть первая часть, выбрана так, чтобы система координат Кг являлась
приспособленной не только к (фактическому) гравитационному полю g^v, но
также и к (варьированному) гравитационному полю g^v -j- 6gPv. Это
означает, что должно выполняться не только уравнение
5, = О,
но и уравнение
6^ = 0. (70)
Величины 61gy-v не являются независимыми друг от друга: они связаны между
собой четырьмя дифференциальными уравнениями.
б) Пусть вторая часть, б2g^v, выбрана так, чтобы она была обязана
простому изменению системы координат без изменения гравитационного поля,
а именно, изменению в такой части области 2, в которой вариация 6g^v
отлична от нуля. Такая вариация характеризуется четырьмя независимыми
друг от друга функциями (вариациями координат). Ясно, что в общем случае
62Т?ц =f= 0.
