Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
лапласиана АФ:
(r) = 27г4(^*"?)- <38)
Расширение и дивергенция тензоров второго ранга. В применении к
ковариантным и контравариантным тензорам второго ранга формулы (29) и
(30) дают тензоры третьего ранга
^ ~ дА^ ^vs ~ дх"
?({**}л"+Ил<29а)
^ + s({ "} + { :} ^ j. (30")
Легко убедиться в том, что "расширение" фундаментального тензора или g^v,
равно нулю. Для дивергенции тензора по индексу v из соотношений (31),
(30а) и (33) получаем
^ = 2 4ТС = * + s 1 Г} Л"У^\ <39>
SV ' V TV ^ ^ ^ /
Для антисимметричного тензора (6-вектора) в силу симметрии выражения
относительно индексов т и v имеем
А* - (ад)
В случае, когда тензор Aявляется симметричным, формула (39) допускает
некоторое преобразование, которое окажется существенным в дальнейшем.
Образуем взаимный к (Л^) ковариантный 4-вектор
349
Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
2 Av-gy.o - Аа\
V-
Аа =-L/v
Ha"* VI) ,
g*° -щ,-----------------------v *е 2
puV p,V
У7\^°*а
pv
с
1
V7
(2'4f---+jV?2(-
'(ХО
)-
дх,
cte,,
Отсюда, если тензор Л^ симметричен, получим
, 1 v/9 (""о'4''" VI) 1 "
(XV ^(ХУ
да;.,
2 дх"
Г7);
(41)
(XV
вводя смешанный тензор 2 §ау.А^у = Л о, можем также написать
^д;т7). (41а)
А = 1 (у д К VI) _ _1_ -у '
ут VZj dxv 2 I (r) а*а
V JXVT
Тензор Римана - Кристоффеля. Формула (29) позволяет дать простой вывод
известного критерия того, является ли данное пространство с заданным
линейным элементом эвклидовым, т. е. можно ли соответствующим образом
выбранной подстановкой добиться, чтобы ds2 было всюду равно сумме
квадратов дифференциалов координат.
Образуем из ковариантного 4-вектора Л^ двукратным расширением, согласно
формуле (29), тензор третьего ранга (Л^х). Тогда будем иметь:
*Л ixvX
д*А
р-
рА
т
vA
т
Аг
дА,
дхх
' д_ дх,
И |:1
Аа.
Отсюда непосредственно следует, что (Л^ху- Л^х) представляет собой
ковариантный тензор третьего ранга; выражение
-s[
Аг
также является ковариантным тензором третьего ранга, а выражение в
квадратных скобках является тензором четвертого ранга (К^), ковариантным
по индексам р, v, А, и контравариантным по б. Все компоненты
350
29
Формальные основы обкцей теории относительности
этого тензора исчезают, когда g^ становятся постоянными. Но тензор
обращается в нуль всегда, когда это установлено относительно одной
выбранной системы координат. Поэтому обращение в нуль скобок для всех
комбинаций индексов также является необходимым условием того, чтобы
линейный элемент можно было привести к эвклидовой форме; вопрос о том,
является ли это условие достаточным, требует, конечно, дальнейшего
доказательства.
V-тензоры. Из формул (37), (39) - (41) и (41а) видно, что компоненты
тензоров зачастую входят с множителем Уg. Поэтому мы собираемся ввести
специальное обозначение для тензорных компонент, умноженных на Уg (или У-
g, если g отрицательно). Такие произведения мы будем обозначать
заглавными готическими буквами; например, положим
A Vg =
для (^40) и (Па); эти величины будем называть F-тензорами (объемными
тензорами)8. Будучи умножены на dx, они приводят к тензорам в ранее
определенном смысле, поскольку выражения У§ dx - Уд dxx dx? dx% dx^
представляют собой скаляр. При этом способе записи формула (41а),
например, принимает вид:
*• = 2?-<41б>'
V (J.VT
С. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ПРИСУТСТВИИ ЗАДАННОГО
ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Каждому уравнению специальной теории относительности соответствует
общековариантное в смысле предыдущего раздела уравнение в общей теории
относительности. При выводе этих уравнений фундаментальный тензор
gрассматривается как заданный. Так получается обобщение тех физических
законов, которые уже известны в специальной теории относительности; при
этом обобщенные уравнения описывают влияние гравитационных полей на те
процессы, к которым эти уравнения относятся. Вначале неизвестными
остаются только дифференциальные законы самого гравитационного поля,
которые должны быть получены особо. Все остальные (например механические,
электромагнитные) законы мы будем объединять под названием "законы
материальных процессов".
8 Теперь их называют "тензорными плотностями".- Прим. ред.
851
-Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
§ 9. Теорема энергии-импульса для "материальных процессов"
Наиболее общим законом "материальных процессов" является теорема энергии-
импульса. В специальной теории относительности в формулировке Минковского
- Лауэ этот закон записывается следующим образом: dp др ,, др д (Ц )
ГХХ I гху , ГXZ ' X' 1
dx dy dz dl х
+ + d(iiy} = /
dxdydz dl tv
+ 3{i[z) = / (42)
дх ду dz dl 1z
д(^х) д№у) д(^2) , д (- г]) _ .
dx dy dz dl
При этом в качестве временной координаты выбрано I - it, причем
действительнее время t измеряется в единицах, в которых скорость света
равна 1. Таблица
Р XX Р ху Pxz IX X
Р ух Р УУ Руг %
Р ZX Ргу Pzz it z
i*x isy isz - Ц
представляет собой симметричный тензор (Тov) второго ранга (тензор
влергии), а совокупность величин
