Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эйнштейн А. -> "Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1" -> 135

Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 — М.: Наука, 1965. — 702 c.
Скачать (прямая ссылка): sobranienauchnihtrudovt11965.djvu
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 263 >> Следующая

самое, в силу уравнения (74), справедливо для тензора @0v или для
образованного из него смешанного F-тензора @д. Для любого гравитационного
поля должно также выполняться условие [ср. формулы (416) и (34)]
Это условие на основании соотношений (73) и (65а) можно привести к виду
13 Без последнего введенного в § 14 требования для Ва нам не удалось бы
наити соотношение (65а); предложенное далее в тексте рассмотрение в целях
определения функции не удается провести, если отказаться от этого
требования. Ниже дается оправдание этому.
@ат = к%ат
(74)
V
или
(75)
Т
(76)
873
Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
1 эн v-g}
2 s- dg^ !
(76а)
(6о = 1 или 0, в зависимости от того, б = v или вф v). Если тензор ?от
задан, то 10 уравнений (74) могут служить для определения 10 функций gv-
*. Однако, g^v должны также удовлетворять и четырем уравнениям (67), так
как система координат должна быть приспособленной. Следовательно, число
уравнений больше, чем число искомых функций. Это происходит только тогда,
когда не все уравнения независимы. Необходимо потребовать, чтобы
уравнения (67) удовлетворялись, если удовлетворяются уравнения (74). Из
уравнений (76) и (76а) нетрудно видеть, что это будет в том случае, если
выражение SI (величины которого являются функциями g^ и как и Н)
тождественно равно нулю для каждой комбинации индексов. Таким образом,
функция должна выбираться из условия
Sq = 0. (77)
Потребуем дальше (формальное обоснование этого я дать не могу), чтобы
функция Н была однородной функцией второй степени относительно g^' Этим
функция Н определяется полностью с точностью до некоторого постоянного
множителя.- Действительно, так как она должна быть скаляром относительно
линейных преобразований, то отсюда с учетом вышеуказанного предположения
вытекает14, что она равна некоторой линейной комбинации следующих пяти
величин:
V* ML* sv'ML-ML..
Zj°v-v dxa dxz ' dxa Vv' dxa, ' Zj (r) dx dxv '
y. ,g v*
s[ili'6w'g Qxa dxa, ' Qxa
Условие (77) приводит, наконец, к тому, что функция Н, с точностью до
некоторого постоянного множителя, совпадает с четвертой из этих величин.
Поэтому мы положим 15, учитывая уравнения (35) и произвольно
14 Доказательство этого хотя и просто, но длинно; поэтому мы опускаем
его.
15 Выражая Н через - компоненты гравитационного поля {ср. формулу (46)],
получаем
н = - S *"'r!UrS>.
[АрТт'
где
s
[AT
dll Y:
dH V-g
+ 4-в?яу:
374
29
Формальные основы общей теории относительности
распоряжаясь константой, что
(78)
а&тр Р а
Мы ограничимся доказательством того, что при таком выборе функции Н
тождество (77) действительно выполняется.
С помощью соотношений
dg = g 2 gaxdgsx = - g Ц g6Tdg0T,
ат От
fe(3= -
[XV
получим из формулы (78)
^ ,.т дН V- g 1 тт лГ-sv , 1 ,,т dgV-V-
Яо-ат -~2-Hr g$<} Ч" 4 К 8 2j 8 дха дхх
1 [а[а'т
2 <bV, "г.. '
рр X Р Р
ая /
[АТ
дхп дх,
р р
L у; ^ -ш v~f = -L к=гт 2 ..A-.
2 ZJSa 5"[АТ 4 К s ^ 6 ^ ^
(79)
[АТ
{XJX т
Отсюда следует сделанное выше утверждение.
Мы получим теперь чисто формальным путем, т. е. не привлекая
непосредственно наших физических знаний о гравитации, вполне определенные
уравнения поля. Чтобы записать их в более подробной форме, умножим
уравнение (74) на gVT и просуммируем по индексу т; тогда, принимая во
внимание формулу (73), находим
\л",т(дНУ~§ д ТдНУ^ЛХ (т
= ("ar-sr.L-e^-J)' (80)
ИЛИ ___
V v T dH V-g
dxa ' dga~
ат a о а ___ ____________
= на: + 2 (- с + с i^z?-) • w
375
Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
При этом, поскольку наша система координат является приспособленной, в
силу соотношений (67) и (65а) выполняется уравнение
y±±(^dJUCEi) = o
2j дх^дха\° dgax / '
arv а
и, в силу соотношения (80), уравнение
+ = (806)
Благодаря соотношениям (78), (79) и (46), мы можем вместо
уравне-
ний (80а) и (806) получить следующие:
= -*(s; + Q, (81)
аз а
2дзГ (X, + to) - 0, (42в)
V
где
= <81а>
tv - -
Y-t v ___Lfiv>Ti5vl.
4к 2л \(r) дх" дх" 2 а дх" дх_
jxp/рт
Р
2 (гтВД,-4-6к"'Г5,гг,.) . (816)
JlpTT'
Уравнения (81) вместе с выражениями (81а) и (816) представляют собой
дифференциальные уравнения гравитационного поля. Уравнения (42в), по
предположениям § 10, выражают закон сохранения энергии и импульса материи
и гравитационного поля вместе. Величины to, относящиеся к гравитационному
полю, по своему физическому смыслу аналогичны компонентам %va тензора
энергии-импульса (F-тензора). Необходимо подчеркнуть, что to ковариантны
не по отношению к произвольным преобразованиям, а только по отношение к
линейным; тем не менее мы назовем (11) тензором энергии гравитационного
поля. Аналогично Г^з являются компонентами напряженности гравитационного
поля.
Система уравнений (81), несмотря на свою сложность, допускает простую
физическую интерпретацию. Левая часть выражает своего рода дивергенцию
гравитационного поля. Она зависит, как показывает правая.
370
29
Формальные основы общей теории относительности
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed