Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
Суперпозиция обеих этих вариаций определяется
(10 -4) + 4= 10
независимыми функциями; они эквивалентны также произвольно-м у изменению
бg^. Наше предположение будет доказано, если уравнение (68) доказать для
обеих вариаций.
Доказательство для вариации бь Взяв 61-вариацию соотношения (65),
непосредственно получаем
А (61/) = ^ dr2 (А^61^) + бxF. (65а)
Если на границе области 2 вариации 61 величин g^ и всех их производных
обращаются в нуль, то, согласно формуле (656), обращается в нуль и
преобразуемая к поверхностному интегралу величина 61F. Отсюда и в силу
условия (70) соотношение (65а) преобразуется в уравнение
А (бх/) = 0. (68а)
Доказательство для вариации б2. Вариация б2/ соответствует бесконечно
малому преобразованию координат при постоянных значения? координат
границы. Так как система координат должна быть приспособленной
370
29
Формальные основы общей теории относительности
к исходному (не варьированному) гравитационному полю, то, согласно
определению приспособленной системы координат, имеем
Предположим сначала, что рассматриваемое изменение гравитационного поля
относительно системы координат Кх выбрано в виде 62-вариации; тогда имеем
Если же эта вариация является 62-вариацией также и по отношению к системе
К2 (что будет доказано), то относительно системы К2 выполняется
аналогичное уравнение
Теперь необходимо доказать, что рассматриваемая вариация является 62-
вариацией также относительно системы К2. Обозначим через Gi (или
соответственно G2) отнесенный к системе К\ (или соответственно к К2)
неварьированный тензор gа через Gx (или G2) варьированный тензор
отнесенный к системе Кi (или к К2). От Gi к G2 или от G, к G2 можно
перейти с помощью преобразования координат Т; пусть обратное
преобразование будет Т~х. Далее, от Gi к G2 можно перейти преобразованием
координат t. Тогда тензор G2 получается из тензора G2 последовательностью
преобразований
т. е. опять некоторым преобразованием координат. Тем самым показано, что
рассматриваемое изменение величины представляет собой 62-ва-риацию также
относительно системы К2.
Из уравнений (68а) и (686) следует, наконец, искомое уравнение (68).
Из доказанного предложения мы выведем существование некоторого комплекса,
состоящего из 10 компонент, который при ограничении определенными
системами координат обладает тензорным характером. Из равенства (61)
имеем
б 2/ = 0.
62(/i) = 0.
^2 (^2) - 0*
После вычитания отсюда следует уравнение
62 (А/) = А (62/) = 0.
(686)
67 = 6{jW_gdt} =
Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
или, так как 6g?v = (8g^v), после интегрирования по частям и,
принимая во внимание, что 6giAV обращается в нуль на границе,
<71>
Мы доказали, что вариация б/ при ограничении приспособленными системами
координат является инвариантом. Так как вариации bg^ должны быть отличны
от нуля только в некоторой бесконечно малой области, а выражение V- gdT
является скаляром, то подынтегральное выражение, деленное на У - g, т. е.
величина
У=26^(r).- (72)
|XV
также является инвариантом: причем здесь мы положили
@ _ 1Н - у, А (дн \ (73)
^ *дхв[ )'
Далее, вариация бg^v так же, как и g^v, является контравариантным
тензором, а отношения вариаций 8g^v выбираются произвольно. Отсюда
следует, что величина
(c).у
v-g
при ограничении только приспособленными система координат представляет
собой ковариантный тензор, а сама величина является соответствующим
ковариантным F-т ензо-ром, а именно [вследствие (73)]: симметричным
тензором.
§ 15 Вывод, уравнений поля
Можно думать, что в отыскиваемых уравнениях гравитационного поля, которые
должны занять место уравнения Пуассона ньютоновской теории, тензор (c)jxv
играет фундаментальную роль. Действительно, в силу соображений § 13 и 14,
мы потребовали, чтобы искомые уравнения, так же как тензор @V!X, были
ковариантны только относительно приспособленных координатных систем.
Далее, так как мы видели в связи с уравнением
372
29
Формальные основы общей теории относительности
(42а), что влияние гравитационного поля на материю описывается тензором
энергии то искомые уравнения должны установить некоторую связь между
тензорами @ат и ?д* Можно предположить, что
Здесь к - некоторая универсальная константа, a - симметричный
ковариантный F-тензор, который связан со смешанным тензором энергии
соотношениями
Определение функции Н. Отыскиваемые уравнения этим пока еще не определены
полностью, поскольку еще не фиксирована функция Н.. До этого момента мы
знали только, что Н зависит лишь от g^ и g?v и является скаляром
относительно линейных преобразований 13. Дальнейшие условия, которым
должна удовлетворять функция Н, мы получим следующим образом.
Пусть - тензор энергии замкнутой материальной системы, находящейся в
рассматриваемой области; тогда объемный 4-вектор ($а) плотности сил в
уравнении (42а) равен нулю. Уравнение (42а) выражает в этом случае
исчезновение дивергенции тензора энергии материальной системы; то же
