Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эйнштейн А. -> "Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1" -> 132

Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 — М.: Наука, 1965. — 702 c.
Скачать (прямая ссылка): sobranienauchnihtrudovt11965.djvu
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 263 >> Следующая

необходимо несколько ограничить, если мы
D. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
364
29
Формальные основы общей теории относительности
хотим полностью удовлетворить принципу причинности. Именно, мы докажем,
что законы, определяющие течение событий, в гравитационном поле не могут
быть общековариантными.
§ 12. Доказательство необходимости ограничений на выбор координат
Мы рассмотрим некоторую конечную часть 2 пространства, в которой не
происходят какие-либо материальные процессы. Тогда физические события в
области 2 полностью определяются, если по отношению к используемой для
описания координатной системы К заданы величины g^ как функции координат
хv. Совокупность этих функций будем символически обозначать через G(x).
Введем новую систему координат К', совпадающую g системой К вне области
2, но отличную от К внутри 2, такую, что относительно этой системы К'
величины g^v, как и g^ (вместе с их производными), всюду непрерывны.
Совокупность gjj,v обозначим символически через G'(x'). Величины G'(x') и
G(x) описывают само гравитационное поле. Выразим входящие в gpu,
координаты xv через координаты xv, т. е. образуем G'(x), тогда G'(x),
равным образом, будет описывать гравитационное поле относительно системы
К, которое, однако, не совпадает с имеющимся (или специально заданным)
гравитационным полем.
Предположим теперь, что дифференциальные уравнения гравитационного поля
общековариантны; тогда их решением будут G'(x') (в системе К'), если в
системе К решения суть G(x). Тогда эти уравнения удовлетворяются в
системе К также и функциями G'(x). Таким образом, относительно системы К
существуют отличные друг от друга решения G(x) и G'(x), несмотря на то,
что на границе области оба решения совпадают, т. е. для общеко-вариантных
дифференциальных уравнений гравитационного поля последовательность
событий может быть неоднозначной. Если мы потребуем, чтобы развитие
событий в гравитационном поле полностью определялось устанавливаемыми
законами, то необходимо ограничить выбор координатных систем таким
образом, чтобы было невозможно ввести новую систему координат К'
описанного выше вида без того, чтобы не нарушить введенного ограничения.
Продолжение координатной системы внутрь некоторой области 2 не может быть
произвольным.
805
Формальные основы общей теории относительности
1914 г*
13. Ковариантность относительно линейных преобразований. Приспособленная
система координат
После того, как мы видели, что система координат должна подчиняться
некоторому условию, мы должны рассмотреть некоторые способы специализации
выбора системы координат. Весьма далеко идущее ограничение получается,
если допустить только линейные преобразования. Если бы мы потребовали от
физических уравнений лишь ковариантности относительно линейных
преобразований, то наша теория лишилась бы главной опоры. Действительно,
преобразования к ускоренной или вращающейся системе не йыли бы тогда
правомерными; отмеченная в § 1 физическая эквивалентность "центробежного"
поля и поля тяжести не объяснялась бы их тождественностью. С другой
стороны, полезно (как это будет видно из дальнейшего) наложить условие,
чтобы линейные преобразования входили в число допустимых преобразований.
Поэтому придется кратко сказать о той модификации, развитой в разделе В
теории ковариантов, которая возникает, если вместо допустимых
произвольных преобразований ограничиться только линейными.
Ковариантность относительно линейных преобразований. Изложенные в § 3-8
алгебраические свойства тензоров не упрощаются даже тогда, когда
рассматриваются только линейные преобразования; правила же образования
тензоров при помощи операций дифференцирования (§ 9), напротив,
становятся проще.
Именно, всегда имеем
Например, для ковариантного тензора второго ранга, согласно (5а), имеем
также
Для линейного преобразования производные -" и т. д. не зависят от
дх
И-
координат хъ, так что
дх
дх' ^ дхи дх дх ^хь Р afib Н- * Р
(
дА
Величина
ранга.
дх<
также представляет собой ковариантный тензор третьего
зев
29
Формальные основы общей теории относительности
Вообще можно показать, что в результате дифференцирования компонент
произвольного тензора по координатам опять получается тензор, ранг
которого выше на единицу, причем вновь появившийся индекс носит
ковариантный характер. В этом состоит операция расширения при ограничении
только линейными преобразованиями. Поскольку вообще расширение в
соединении с алгебраическими операциями составляет основу образования
ковариантных величин, мы тем самым владеем системой ковариантов
относительно линейных преобразований. Обратимся теперь к некоторым
соображениям, которые приведут к гораздо более слабому ограничению на
выбор координат.
Закон преобразования интеграла I. Пусть Н - некоторая функция ве-
распространенный по конечной части 2 пространства. Пусть используемой
вначале системой координат является система Кх. Нас интересует изменение
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed