Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
/1 - q2
my Vi - q2 mz Vi -q'2
(86a)
- / л = i
/1-
Выбор мнимой временной координаты приводит здесь к тому, что энергией
является не /4 [как было бы в соответствии с уравнениями (52)], a i/4.
881
Формальные основы общей теории относительности
1914 г*
Вместо уравнения (496) в отсутствие внешних сил, вследствие уравнения
(84а) получаем
d (- I ) \ dh dx
-<87>
VT
Уравнения (85), (86), (87) в первом приближении заменяют ньютоновскую
теорию тяготения.
Теория Ньютона как приближение. Если положить скорость q бесконечно малой
и, соответственно, сохранить в уравнениях только члены, содержащие
компоненты q в наименьшей степени, мы приходим к ньютоновской теории.
Тогда вместо уравнения (85) получим уравнения
? ЛОУ = 0 (при \ф аф 4) А
? Ам = -хр0, J а вместо уравнения (87)
• = -|-grad/l44- (87а>
Из уравнений (85а) можно заключить, что в этом случае (при
соответствующем выборе граничных условий на бесконечности) все величины
hav, кроме /г44, обращаются в нуль; из уравнения (87а) следует, что
величина - ^ играет роль гравитационного потенциала. Обозначим эту
величину через Ф; тогда получим уравнения
х
У
?Ф=тРо,
d(m) 1 m 1 ^
¦ - - = - т grad Ф,
находящиеся в согласии с теорией Ньютона в том случае, когда второй
" а2Ф - а2Ф
производной -Qp можно пренебречь по сравнению со значением и т. д.
В ньютоновской теории первое из уравнений (88) гласит
а2Ф , а2Ф . а2Ф . " ~д& + W + ~ р°;
отсюда имеем
? = 4д К.
Константа К имеет значение 6,7 -10 8, если в качестве единицы времени
взята секунда; если же за единицу времени взята световая секунда, то
882
29
Формальные основы общей теории относительности.
6 7-10-8
значение К равно ^ ^20 . Поэтому получаем
"=8"-?^1=1.87-10-эт. (89>
Для естественно измеренного расстояния между соседними пространственно-
временными точками в случае ньютоновского приближения имеем:
ds2 = 2 9ixv dX\j. dx" - - dx2 - dy2 - dz2 + (1 + 2Ф) dt2.
iXV
Для чисто пространственного интервала
- ds2 = dx2 -)- dy2 + dz2.
Длины в системе координат совпадают с естественно измеренными дли-нами,
т. е. с рассматриваемой точностью справедлива эвклидовская геометрия
расстояний. Для чисто временных интервалов
ds2 = (1 -J- 2Ф) dt2,
или
ds = (1 + Ф) dt.
Естественно измеренной длительности ds соответствует отрезок времени ds/(
1 - Ф). Скорость хода часов также изменяется как (1 + Ф), увеличиваясь с
ростом гравитационного потенциала. Отсюда можно заключить, что
спектральные линии, испускаемые на Солнце, сдвинуты в красную-часть
спектра по отношению к соответствующим спектральным линиям света,
излучаемого на Земле на величину
^ = 2-ЮЛ
Для световых лучей (ds = 0) получаем соотношение
У dx2 + dy* + rfz2 _ j I ф dt
Скорость света не зависит от направления, но изменяется с изменением
гравитационного потенциала. Отсюда следует искривление пути светового
луча в гравитационном поле.
Наконец, вычислим импульс и энергию материальной точки в ньютоновском
поле, причем будем основываться не на уравнении (86а), а на точном
уравнении (51). Подставляя в него для величин g0lx значения
-1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 -1
38а
Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
а вместо dx" - величины
dx dy dz idt; ограничиваясь членами первого порядка по /г44, снова
обозначая
через Ф, а также пренебрегая членами более высокого порядка, чем второй
по скорости, получаем
- 11 = т(1- Ф)дх,
Так как величина (- Ii) представляет собой ^-компоненту импульса, а
величина (г74) - энергию материальной точки, то отсюда следует, что
инертная масса с уменьшением гравитационного потенциала увеличивается.
Это находится в согласии с развитыми здесь представлениями.
Действительно, так как согласно нашей теории пространству не придается
самостоятельного физического качества, то инертность некоторой массы есть
следствие ее взаимодействия с остальными массами; это взаимодействие
должно увеличиться от того, что к рассматриваемой массе приближаются
другие массы, т. е. когда значение величины Ф уменьшается.
Поступила 26 ноября 1914 г.
Эго - последний большой обзор всех работ Эйнштейна, написанных до
создания правильной теории тяготения. Трудности, возникшие на пути
теории, в основном сконцентрировались на построении тензора энергии-
импульса. Эйнштейн вводит в эти работы то, что сейчас называется псевдо-
тензором энергии импульса гравитационного поля, который обладает
тензорными свойствами по отношению к линейным преобразованиям. Лишь через
год, в 1915 г., в работе "К общей теории относительности" (статья 34)
Эйнштейн отказывается от условия равенства нулю обычной (нековариант-ной)
дивергенции тензора энергии импульса и приходит к верному уравнению поля
тяготения, известному теперь под названием "уравнения Эйнштейна".
В созданном варианте теории Эйнштейн выводит два следствия - смещение
спектральных линий и отклонение луча света в поле Солнца. Третий эффект -
движение перигелия Меркурия-был открыт в 1915 г. и опубликован в статье
