Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ф2, Фч) -
-фг' ¦фл^
так что можно написать
R,(a)"l_aX4- (8'7)
Таким образом, оператор бесконечно малого поворота системы частиц имеет
вид
г ~ dq>i г
Сравнивая это выражение с (8.6), мы приходим к выводу, что оператор
полного углового момента для системы частиц в точности совпадает (в
единицах %) с оператором бесконечно малого поворота этой системы. Именно
к такому выводу мы пришли ранее в случае одной частицы.
§ 3. СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
Рассмотрим двухчастичную волновую функцию, равную произведению двух
одночастичных волновых функций:
Т(гх, ra) = ijj/jmi(r1)ijj|imi(r2). (8.8)
Здесь индексы I - одночастичные угловые моменты, а индексы т, - их z-
компоненты. Под влиянием вращения R (а) функция ф1 претерпевает
преобразование
У = Т (R (а)) ? = фЧт,= S (a) (а) х
'п1а'2
X
Отсюда' видно, что набор из (2^+1) (212Ч~1) функций мультипликативного
вида (8.8) образует базис в произведении представлений D(,i)(r) D(ii)
группы 5i3. Разложение произведения* представлений на его неприводимые
составляющие
(Л + ^*)
D(6)(r)D<^= S D<L) (8-9)
1б-'Ч
У главой момент и группа 91%
217
было получено в гл. 7, § 4, п. Г. Но поскольку полный угловой момент пары
частиц соответствует вращению всей пары, он может принимать только
значения
L^ih + h), (h + h-i), \h-h\. (8.Ю)
Равенство (8.10) называется правилом векторного сложения угловых
моментов. В классической механике угловой момент есть вектор, так что
сумма двух угловых моментов li и 12 получается путем обычного сложения
векторов Ь=11+12. Поэтому модуль вектора L зависит от угла между
векторами 1Х и 12 и лежит в пределах от llil + lbl до lllil - jl211• Эта
классическая аналогия и дала название "правила векторного сложения"
равенству (8.10); оно стремится к классическому результату в пределе
больших угловых моментов и малых значений %.
В случае вращений вокруг оси z имеет место простое свойство аддитивности
представлений группы Э12 (гл. 7, § 3, п. В)
Т<(tm).) (g) J(ms) _ J(mi + m2)_
Оно означает, что z-компонента полного углового момента точно равна сумме
соответствующих z-компонент обеих частиц. Собственные функции оператора
полного углового момента даются теми комбинациями мультипликативных
функций (8.8), которые обеспечивают разложение (8.9); как было показано
выше (гл. 7, § 4, п. Г), этому требованию удовлетворяют коэффициенты
Клебша - Гордана. Запишем эти собственные функции в виде
?? м (г1? г2) = У\ С (1У12Ь, тгтгМ) ф/1т, (гх) г|дгШг (г2).
тх
(8.11)
Они обладают следующими свойствами:
L2Y?M = L(L + 1)??M,
L 24lu = M4lm.
f'f Добавляя последовательно угловой момент каждой новой частицы, но
правилу (8.10) можно вычислить полный угловой момент любого числа частиц.
В силу принципа Паули некоторые состояния полного углового момента могут
оказаться неприемлемыми с физической точки зрения, но этот вопрос мы
рассмотрим позже (§ 6, п. Г), когда уже введем понятие внутреннего спина.
218
Глава 8
§ 4. ВНУТРЕННИЙ СПИН
Считается, что все физические системы состоят из частиц, таких, как
электроны, протоны, нейтроны и т. п. Каждой точечной частице
приписываются конечная масса и конечный заряд. Эксперимент же показывает,
что такая картина неполна и, в частности, не позволяет объяснить
поведение уровней энергии атома водорода при наличии слабого магнитного
поля. Как мы увидим ниже, приходится сделать вывод, что точечным частицам
нужно приписать еще и внутренний угловой момент (спин) и, следовательно,
внутренний магнитный момент. Внутренний спин и магнитный момент считают
столь же фундаментальными характеристиками частиц, как их масса и заряд.
Даже в состоянии покоя частица имеет некий спин и отличный от нуля
магнитный момент. Более того, магнитный момент может иметь (и имеет)
частица, подобная нейтрону и не обладающая зарядом. Можно считать, что
этот магнитный момент обусловлен зарядовыми токами внутри частицы,
которая обладает отличным от нуля полным магнитным моментом, но равным
нулю полным зарядом. Почти все элементарные частицы, такие, как электрон,
протон и нейтрон, обнаруживают в эксперименте спин, равный xl2li, но,
например, р-мезон имеет спин fi, a Q" 'гиперон - спин 3/2А. Полуцелые
значения углового момента (в единицах %) не встречались при описании
орбитального движения частиц, но их появление нельзя считать совершенно
неожиданным. Достаточно вспомнить о связи, установленной в § 2, между
оператором углового момента и операторами вращений, а также описание (гл.
7, § 4) неприводимых представлений D<y) группы вращений целыми или
полуцелыми значениями J. Причина, по которой мы отказались от функций с
полуцелыми значениями J при описании орбитального движения частиц,
становится несущественной в случае спиновых переменных. Дело в том, что
орбитальное движение описывается дифференциальным уравнением Шредингера,
решения которого должны быть непрерывными функциями. Волновая же функция,
соответствующая полуцелым значениям /, приобретает множитель -1 при
