Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
трех операторов, которые преобразуются по неприводимому представлению
DU). Вектор углового мохмента )q тоже является векто2>оператором. Тогда,
согласно теореме Вигнера - Эккарта [формула (7.53)], получаехМ
<JM} Vq I JM'y = С (Л.7, M'qM) </ [j VII />,
<JM [ J(/1 JM'y = С (JiJ, M'qM) </1J [[/>.
Значит,
<JM I v31 JM'y = </M I }q I JM'y <^jj> , (7.54)
т. e. матричный элемент оператора Vg зависит от чпсел М, М' и q так же,
как матричный элемент оператора Jq, который определяется равенствами
(7.39) и (7.40). От конкретного вида оператора Vg зависит лишь
коэффициент пропорциональности. Такой способ прихменпм к любой группе.
Как и в разобранном примере, эквивалентный оператор обычно строится из
пнфинитезимальных операторов группы.
Метод эквивалентного оператора, как правило, непригоден для вычисления
матричных элементов между функциями из разных представлений. В примере
(7.54) матричные элементы эквивалентного оператора между векторами из
представлений с числами J и J'=?=J должны быть равны нулю, хотя для
произвольного вектор-оператора, такого, как вектор положения г, эти
матричные элементы, вообще говоря, отличны от нуля.
Непрерывные группы и их представления 203
§ 5. ОПЕРАТОР КАЗИМИРА
В случае группы 912 функцию, преобразующуюся по неприводимому
представлению Т((tm), можно отождествить с собственным вектором
единственного инфинитези-мального оператора J2, отвечающим собственному
значению т. В случае группы 9t3 функцию преобра-
зующуюся в соответствии с т-ж строкой представления D(/), можно также
отождествить с собственным вектором инвариантного квадратичного оператора
P = il + i§ + )t. (7.55)
Оператор J2 инвариантен, так как нетрудно показать, что [J2, Jq]=0 при
q=x, у и z. Поэтому при сужении на неприводимое представление этот
оператор должен быть пропорциональным единичному оператору. Иначе говоря,
при фиксированном /' все функции <p {jm) будут собственными векторами
оператора J2, отвечающими одному и тому же собственному значению, не
зависящему от т. В самом деле, мы доказали [формула (7.36)], что при
любых т
Яф(7те) = /(/' + 1)ф(/??г). (7.56)
Таким образом, функцию, принадлежащую представлению D(/), можно
определить как собственный вектор оператора J2, отвечающий собственному
значению у(/+1).
Это общее утверждение для оператора J2 проиллюстрируем на двух примерах
из § 4, п. Д, где операторы Jq заданы в явном виде. Для первого примера,
т. е. для трехмерного векторного пространства, пользуясь выражением
(7.23), находим
J|r = - X|r = - ех X (ел х г) = уеу + zez.
Значит, J2r=2r и оператор J2 равен удвоенному единичному оператору, что
согласуется с выражением /'(/+1) при / = 1.
Вид оператора J2 на пространстве функций, зависящих от положения одной
частицы, определяется операторами Jg, которые в § 4, п. Д заданы в явной
дифференциальной форме. После некоторых алгебраических вычислений
получаем
204
Глава 7
где y2=d2/dx2Jrd'1Jdy2Jr-d2/dz'1. В § 4, п. Д мы убедились в том, что
сферические функции образуют базис представления D(,). Поэтому l2Y\^ = l
т. е.
r2{v2-(^Yy^)}Y?(Q, <р) = -Ц1 + 1)У?>(в, Ф),
(7.58)
и, следовательно,
WF^(0, Ф) = 0. (7.59)
Иначе говоря, мы доказали, что функции rlY(J}(B, ф) - это решения
уравнения Лапласа. Сферические функции действительно часто определяют
таким способом. Мы же определили их в § 4, п. Д как векторы базиса
представления D(n. Теперь мы покажем, насколько важны сферические функции
при решении уравнения Шредингера для одной частицы в поле со сферически-
симметричным потенциалом V(г). Соответствующее уравнение Шредингера
[формула (5.4)] имеет вид
{-Ш^+У(г)-Е)у(г) = 0.
Если мы представим решение в виде ф(г) = ипг (r)Y%(Q, ф), то в силу
равенства (7.58) радиальная волновая функция ип1 (г) должна будет
удовлетворять уравнению задачи на собственные значения
(&+т?+~У^) + ГМ-^] "",(0 = 0. (7.60)
где п - радиальное квантовое число, которым различаются собственные числа
Еп1 с одинаковыми индексами I.
Оператор J2 называется оператором Казимира. Для любой группы Ли можно
построить из инфинитезималь-ных операторов скалярный квадратичный
оператор, называемый оператором Казимира (см. в литературе статью Рака).
Кроме того, можно доказать, что этот оператор Казимира С дается
выражением
с = 2 (г1),/А, (7-61)
Р% Я
где g - матрица с матричными элементами gi^^c^cjs, a c\t - структурные
константы из формулы (7.7).
Непрерывные группы и их представления 205
Для перечисления неприводимых представлений групп, больших, чем группа
приходится вводить несколько чисел, подобных числу /. Число таких чисел
называется рангом группы. Рассматривая кубические и более высокие степени
операторов Xq, можно построить множество операторов Казимира данной
группы. Все числа, нумерующие представления, связаны с собственными
значениями операторов Казимира.
§ 6. ДВУЗНАЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
В случае конечных групп представление Т (Ga) каждому элементу группы Ga
сопоставляет единственный оператор T(Ga). В случае непрерывных групп
