Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
представление. Свойства группы ofz подробно рассматриваются в т. 2, гл.
17.)
При совпадении любой пары индексов у г Два столбца детерминанта (8.37)
оказываются одинаковыми, так что детерминант обращается в нуль при всех
значениях координат п, г2, . . . . Поэтому в произведениях (8.36), из
которых построена функция Пг(yi, У2, • ¦ Yz)> Два электрона не могут
занимать одинаковых одночастичных состояний Yi'i это положение известно
под названием принципа Паули.
Таким образом, низшие уровни энергии атома можно получить, выбрав
значения уг> соответствующие низшим одночастичным энергиям. Ввиду
вырождения одночастичных энергий по отношению к mt и т3 для Z-электронной
волновой функции (8.37) имеет место еще большее вырождение. Например,
шестикратное вырождение р-уровня [приводит к 15-кратному вырождению
возможных детерминантов (8.37) для двух электронов на р-орбитах (15 - это
число способов, которыми можно выбрать два разных одночастичных состояния
пггяг3 из шести). Максимальное число электронов, которое можно поместить
на орбиты с энергией Ent и с фиксированными значениями nl, равюукратности
вырождения 2 (2Z+1) данного одночастичного уровня; такую систему
электронов принято называть ^заполненной оболочкой. Очевидно, что
заполненная оболочка|является невырожденной системой, поскольку она по
определению содержит число частиц, необходимое и достаточное для того,
чтобы каждое воз-
Угловой момент, и группа
235
можное одночастичное состояние у с некоторыми выбранными значениями п и I
появилось в детерминанте (8.37). Можно также показать, что полный спин и
полный орбитальный угловой момент заполненной оболочки равны нулю, т. е.
L~S=0. Для этого мы прежде всего заметим, что в заполненной оболочке в
суммы Ms=^ms и ML=* =^гп; положительные и отрицательные значения т, и m,i
входят в равной мере; следовательно, Ms=ML=0. Аналогично, если обозначить
через Y волновую функцию заполненной оболочки, то L+4f=S+'vIf=0, а потому
в силу формулы (7.31) мы имеем L=S-0. Равенство L+1F= =0 следует из того,
что оператор L + = 2^+ (0 увеличивает
значение mt некоторой частицы, я, поскольку все возможные 7П{ уже
встречаются в детерминанте, функция L+Y описывается детерминантом с двумя
одинаковыми столбцами, а потому равна нулю. Так же доказывается равенство
S+1F=0.
Несмотря на то что входящий в Н0 эффективный одночастичный потенциал
несколько иной, нежели в случае атома водорода, порядок следования
одночастичных уровней энергии Еп\ для легких атомов сохраняется тем же.
Оказывается, что заполнение оболочек происходит при значениях Z=2, 4, 10,
12 и 18, т. е. заполняются оболочки Is, 2s, 2р, 3s и 3р. Для атомов,
имеющих' один электрон вне заполненной оболочки, таких, как литий (Z=3),
бор (Z=5), натрий (Z=ll) и алюминий (Z=13), спиновый и орбитальный
угловые моменты атома будут в точности совпадать с соответствующими
значениями для последнего электрона: S=l/2 и L=0, 1, 0, 1 в перечисленных
примерах. Многие свойства атома определяются электронами, находящимися
вне заполненных оболочек, и именно эта закономерность лежит в основе
периодической системы элементов. В частности, в атомах инертных газов все
оболочки заполнены, а в атомах щелочных металлов имеется один электрон
вне заполненных оболочек, так называемый валентный электрон.
Поскольку основное состояние заполненной оболочки является невырожденным,
учет возмущений Hi и Н*, входящих в выражение (8.35), приводит к малому
сдвигу уровня энергии без какого-либо расщепления.
Для атома с одним электроном вне заполненной обо-
236
Глава 8
лочки влияние возмущения Hi вновь сводится просто к сдвигу энергии
основного состояния. Хотя основное состояние имеет 2 (2/+1)-кратное
вырождение одноча-стичного уровня валентного электрона, оно все же не
расщепляется возмущением Hi, поскольку оператор Hi, подобно оператору Н0,
инвариантен по отношению к вращениям отдельно в спиновом и координатном
пространстве. Влияние возмущения Н2 качественно такое же, как и ранее
описанное для атома водорода (рис. 8.1, б).
Если рассматривать инверсии, то четность каждого одноэлектронного
состояния равна (-1)/, причем четность детерминанта Слэтера равна
произведению' четностей заполненных одноэлектронных состояний. Поэтому
заполненная оболочка обладает положительной четностью и все состояния,
образованные помещением t электронов в валентное состояние nl, будут
1иметь одинаковую четность (-1)^.
В. Атомы с несколькими валентными электронами, LS-Свпзь
Пусть в атоме имеется t электронов на валентном уровне nl. Тогда
существует набор определителей (8.37), соответствующих разным выборам
чисел ms и для t занятых состояний. Число таких определителей будет равно
числу способов выбора t различных одночастичных состояний msmi из их
полного возможного числа 2(2Z+1), т. е. оно равно (4Z-j-2)!/(4Z+2-Z)!z!.
Возмущение Hi снимает это вырождение, и мы кратко рассмотрим характер
возникающего расщепления. Прежде всего упростим задачу на том основании,
