Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
повороте на полный угол 2jt и, следовательно, не является непрерывной.
Спиновая степень
Угловой момент и группа 91з
219
свободы не описывается уравнением Шредингера, но, как будет показано в т.
2 (гл. 15), естественно возникает при релятивистском описании. При
решении подобных уравнений появление полуцелого спина не приводит к
трудностям, а изменение знака волновой функции не влияет на вероятность
|ЧГ|2.
Чтобы показать необходимость введения понятия спина для объяснения
наблюдаемых явлений, рассмотрим прежде всего влияние однородного внешнего
магнитного поля на уровни энергии электрона, движущегося в сфе-рически-
симметричном потенциальном поле. Рассмотрим, в частности, (2?-Т1)-кратно
вырожденный уровень энергии Ei, соответствующий значению I углового
момента импульса, а также набор волновых функций ф(/та), где m=l, I-1, .
. ., -I. Дополнительное слагаемое в гамильтониане, учитывающее наличие
постоянного магнитного поля с напряженностью В, имеет вид
Ш7- <8Л2)
Здесь ось z выбрана в направлении магнитного поля, -е и Ме - заряд и
масса электрона, а с - скорость света. Оператор -eftlz/2Mec называется
оператором магнитного момента, а коэффициент при В1Х называют магнетоном
Бора и обозначают через
= е%/2Мес. (8.13)
Заметим, что вклад (8.12) в гамильтониан пропорционален угловому моменту
частицы и напряженности поля. Слагаемое (8.12) коммутирует с исходным
гамильтонианом T+V(r), и его влияние на спектр сводится просто к снятию
вырождения и расщеплению спектра. Функции гЬ (Zm.) будут также
собственными функциями нового гамильтониана и будут соответствовать
энергиям Еп1+ +рв Вт. Такое расщепление уровней в магнитном поле носит
название эффекта Зеемана. С точки зрения теории групп симметрия
гамильтониана понизилась с 913 до 91*, так что (2Z-y.)-KpaTHo вырожденный
уровень расщепляется на (2Z+1) подуровней, индицируемых по неприводимым
представлениям Т(т> группы 912.
Основное состояние атома водорода и почти любой системы со сферически-
симметричным потенциалом при-
220
Глава 8
тяжения соответствует значению 1=0, а потому является невырожденным и не
может быть расщеплено. Однако эксперименты все же обнаруживают его
расщепление на два уровня. Этот факт заставляет предположить наличие
другой степени свободы, кроме пространственных координат, причем по
крайней мере для основного состояния эта дополнительная степень свободы
допускает лишь два возможных состояния. Кроме того, взаимодействие с
магнитным полем говорит о том, что это расщепление, по-видимому,
обусловлено наличием некоего дополнительного углового момента. Тот факт,
что состояние с 1=0 расщепляется на два уровня, указывает на значение
спина, равное 1/2п, поскольку 2/+1=2 при /=1/2- Спиновый угловой момент
обычно обозначают символом s. Можно без труда убедиться в том, что
расщепление возбужденных состояний с 1=/=0 также вполне совместимо с
гипотезой s=r/Ji для электрона. Посмотрим теперь, как выразить сказанное
в строгой математической форме.
Любой частице определенного типа, например электрону, приписывается спин
s; предположим, что возможные спиновые состояния частицы натягиваются на
базисный набор 2s+l состояний %ms с ms=s, s-1, . . ., -s. Предполагается,
что при вращениях эти состояния преобразуются по неприводимому
представлению D(S) группы 91а-
( %от* V = Т (R (а)) = 2 D% (а) (8.14)
\ s/ s т s s
где s может быть как целым, так и полуцелым. Иными словами,
предполагается, что эти состояния ведут себя подобно собственным функциям
углового момента. Поскольку размерность пространства спиновых состояний
конечна и равна 25+1, операторы бесконечно малых вращений имеют для них
ту же форму, что и матрицы инфинитезимальных операторов, полученные в
общем виде в гл. 7, § 4, п. Б. Обозначив эти операторы через sx, sу, sz,
находим по формуле (7.40) пцр конкретных значениях s
Угловой момент и группа Si3
221
s = l s*
/ О -V2
Ivz 0_
\ 0 12
При s=V2 принято обозначение c=2s, причем три оператора о называются
спиновыми матрицами Паули. Согласно формулам (7.36) и (7.39), базисные
состояния являются собственными состояниями операторов sz и s2:
= ЩУ{т\.
S2Xm^ = <(в + 1)Хтя-
Оператор sz принято называть z-компонентой спина, а оператор s2 -
квадратом полного спина. Как справедливо для углового момента вообще,
можно составить из линейных комбинаций базисных состояний новый базис, в
котором любая другая выбранная компонента спина будет диагональна.
Для системы частиц можно определить операторы полного спина частиц
Sg=2sg(*) точн° так же> как был
i
определен в § 2 полный орбитальный угловой момент Lq. Тогда из
результатов § 3 сразу следует правило сложения спинов.
Полная волновая функция частицы со спином s должна описывать как
орбитальное, так и спиновое состояние, и ее можно записать в общем виде
?= >: фт (г) 1 (8.16)
т=-s
где коэффициенты срт^ (г) - произвольные функции координат. В каждой
точке г волновая функция]^ имеет не просто численное значение: ей
