Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
представление Т (а) есть непрерывная функция параметров группы а.
Поскольку существуют многозначные функции, возможны и многозначные
представления непрерывных групп. Например, если в представлении Tlm)(a) =
= ехр(-ima) группы 5?2, рассмотренном в § 3, п. А, выбрать т=Ч2, то мы
получим TV"(0) = 1 и Т'/а(2я) = ^-1. Но поворот на угол 2п - это тот же
элемент группы 5?2, что и поворот на нулевой угол. Значит, наше
двузначное представление сопоставляет этому элементу как +1, так и -1.
Выбирая m=V3, получаем трехзначное представление. Аналогично из формулы
(7.42) для характера представления D<7' группы 5?3 следует, что это
представление однозначно, если / - целое число, и двузначно, если / -
полуцелое число.
Среди решений уравнения Шредингера нет решений, соответствующих
двузначным представлениям (§ 5), но с физической точки зрения такие
представления в общем не исключаются в квантовой механике. В самом деле,
представление D^2* группы Zhs необходимо для описания спина, т. е.
внутреннего углового момента электрона (гл. 8, § 4). Обратимся на
некоторое время к квантовой механике. Допустим, что состояние Т (а)ф
представляет функцию ф системы, преобразованную в соответствии с
элементом группы G(a). Тогда, если G(a)G(b) = =G(c), то система,
преобразованная в соответствии с элементом группы G(c), должна
представляться как состоянием Т (с)ф, так и состоянием Т (а)Т (Ь)ф.
Фазовый множитель состояния не имеет физического смысла. Поэтому Т(а)Т(Ь)
= со(а, Ь)Т(с), где] со - некоторый] фазовый
206
Глава 7
множитель. Это более общее соотношение, нежели наше первоначальное
определение представления [формула (4.1)]. Оно справедливо и для
многозначных представлений, для которых не выполняется условие (4.1).
Заметим, что определение (4.8) операторов представления Т (а) на
пространстве однозначных функций приводит к фазовому множителю ю=1 и,
следовательно, исключает многозначные 'представления.
Удобный математический спосоо описания многозначных представлений состоит
в расширении группы путем добавления новых элементов. Тогда многозначные
представления становятся однозначными представлениями расширенной группы.
(Такая расширенная группа называется "универсальной накрывающей
группой".) В случае двузначных представлений группы 5?3 расширенную
группу (ее часто называют "удвоенной группой") можно определить следующим
образом. Обозначим символом Ё поворот на угол 2л. Этот оператор не
совпадает с тождественным преобразованием Е, но Е2=Е. Из соотношения
(2.12) следует, что ER(a)E=R(a), т. е. преобразование Е коммутирует с
любым преобразованием поворота. Значит, R (a)ER (а)-1=Е и новый элемент Ё
соответствует повороту на угол 2л вокруг любой оси. Расширенная группа
строится путем включения новых элементов ER (а) наряду с первоначальными
элементами R(a), для которых |а|^л. При умножении двух элементов группы
новый элемент Е появляется в тех случаях, когда полный угол поворота
превышает 2л. Такой геометрический способ описания удвоенной группы может
показаться довольно туманным. Но, отождествив удвоенную группу с группой
унитарных преобразований двумерного пространства, этому способу можно
дать строгое алгебраическое обоснование (т. 2, гл. 18, § 13). (Введение
удвоенной группы для исключения двузначных представлений имеет аналогию в
теории функций комплексного переменного, где двузначная функция типа
функции z'/i рассматривается как однозначная функция на двулистной
римановой поверхности.)
То, что группа 5?3 имеет лишь однозначные и двузначные представления,
тогда как группа 5?2 имеет и-значные
Непрерывные группы и их представления
207
представления, причем п - любое целое число, можно было бы сказать
заранее, тщательно проанализировав соотношение между множеством
параметров и элементами группы. Мы лишь кратко рассмотрим этот вопрос,
относящийся к так называемому свойству односвязности группы. У нас
имеются три объекта: параметры группы а, элемент группы G (а) и функция
представления Т (а). Последовательное ум- ^
ножение бесконечно малых эле- в ,-
я
2п
Рис. 7.2.
ментов группы соответствует некоторому пути в пространстве параметров а.
Предположим, что все пути, ведущие из единицы группы в какую-либо
произвольную точку а, можно получать один из другого за счет непрерывной
деформации. Тогда представление Т (а) должно быть однозначным, так как у
многозначной функции имеются скачки в значениях. Рассмотрим сначала
группу 548. Ее единственный параметр а изменяется в интервале 0^а^2я,
причем оба конца интервала соответствуют единице группы. Наряду
с прямым путем из точки 0 в точку а существуют пути, которые сначала
достигают точки 2я и затем возобновляются в точке 0 (рис. 7.2). С точки
зрения элементов группы такие пути непрерывны. В одномерном пространстве
параметров невозможна какая-либо деформация путей. Поэтому пути вида I,
II, III и т. д. нельзя деформировать один в другой. Существование таких
различных путей приводит к появлению многозначных представлений.
