Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(7.36) следует, что
Нф (yjm) = / (j + 1) Ф (yjm).
На данном этапе мы не уточняли никаких свойств рассматриваемой физической
системы, кроме ее сферической симметрии, так что пока нельзя говорить о
явном виде и физическом смысле операторов iq. Но тем не менее уже можно
утверждать справедливость равенств (8.2).
Ввиду инвариантности гамильтониана операторы Jж, )у, Jz, а также оператор
J2 коммутируют с ним и поэтому сохраняются в обычном смысле этого термина
(гл. 5, § 5).
Если мы классифицируем все операторы перехода соответственно их поведению
при вращениях, то правила отбора по j следуют непосредственно из
результатов гл. 5, § 4 совместно с правилом (7.44) для разложения
произведения представлений группы Я3- Пусть, например, / и /' - индексы,
характеризующие начальное и конечное состояния системы по отношению к
группе Я3; далее, пусть рассматриваемый оператор перехода преобразуется
по представлению D(i:> . Тогда при данном значении 7 индекс конечного
состояния /' может принимать лишь одно из следующих значений:
7'= (/ + й), (j + k-i), ..., | j-к |. (8.3)
Напомним (гл. 7, § 4, п. Д), что сферическая гармоника Ykq преобразуется
по представлению D<ft). В частности, дипольные операторы перехода (гл. 5,
§ 4), преобразующиеся по векторному представлению Я3, соответствуют
значению /с=1. Разложение (7.49) произвольной функции по сферическим
гармоникам часто называется муль-типольным разложением, причем член с Ykq
соответст-
214
Глава 8
вует мультиполю степени 2*. (Можно показать, что 2к- это минимальное
число точечных зарядов, необходимых для создания потенциального поля,
пропорционального одной сферической гармонике Ykq с фиксированным к.)
Переход, вызываемый оператором, преобразующимся по представлению Dik) ,
называют 2*-польным, а именно: дипольным при к=1, квадруполъным при к=2,
окту-польным при к-3 н т. д.
Если расширить группу с Sis до 03, включив в нее инверсию (отражение),
то, поскольку группа 03=5?3XiSa есть прямое произведение групп, система
будет наряду со свойствами, описанными выше в случае группы 5?3, иметь
также свойства, соответствующие группе S2 (гл. 5, § 6). Иными словами,
состояния будут обозначаться индексами jm, а также четностью ±1. В
частности, нетрудно видеть, что в силу своего построения (гл. 7, § 4, п.
Д) сферические гармоники Yk имеют четность (-1)*.
§ 2. ОРБИТАЛЬНЫЙ УГЛОВОЙ МОМЕНТ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
В квантовой механике орбитальный угловой момент одной частицы получают
путем замены р-э-в классическом выражении гХр. Таким образом, имеем (в
где ф - угол в полярной системе координат на плоскости, перпендикулярной
оси г. В то же время, как явствует из формулы (7.20), выражение для
оператора бесконечно малых вращений в пространстве собственных функций
одной частицы имеет вид
Таким образом, в случае одной частицы инфинитези-мальный оператор
вращений идентичен оператору углового момента (в единицах %). (Ввиду того
что выделение оси z не имеет особого смысла, тот же вывод в равной мере
справедлив для всех трех компонент углового момента.)
Волновые функции с полуцелым значением углового момента неприемлемы в
качестве решений (гл. 7, § 3,
единицах ft)
h = - i[rxV]z = - i [x
d__ JT ду У dx_
(8.4)
Угловой момент и группа 5?з
215
п. А), так как они не являются непрерывными функциями угла во всем
интервале его значений от нуля до 2п.
Что касается обозначений, то мы до сих пор обозначали операторы углового
момента символом Jg, а собственные значения - маленькими буквами jm.
Переходя к рассмотрению системы частиц, удобно сохранить в дальнейшем
маленькие буквы за величинами, относящимися к одной частице (и за
операторами, и за собственными, значениями); заглавные же буквы будут
применяться для систем, состоящих из нескольких частиц. Кроме того, мы
обозначаем через L (или I) орбитальный угловой момент, а через S (или s)
- внутренний спин (который будет введен в § 4). Символом J (или /) мы
будем обозначать полный угловой момент (сумму орбитального и спинового
моментов).
Рассмотрим теперь систему из п частиц. Полный орбитальный угловой момент
системы, обозначаемый через L, дается выражением
L - 21 (0 =2[г (Охр(г')]/Л,
1=1 с
так что, в частности,
ц-'Е4- <s-6>
где, как и в выражении (8.4), величина фг есть полярный угол i-й частицы.
Чтобы связать этот оператор с вращениями, проведем те же рассуждения, что
привели нас к формуле (7.20). Обозначим произвольную волновую функцию
системы через ? (ги 0!, дц, г2, 02, ф2, . . гп, 0П, ф"); тогда
непосредственное обобщение формулы (7.17) будет состоять в том, что
поворот всей системы на угол а вокруг оси z оставляет неизменными все rt
и 0г, тогда как углы фг заменяются углами ср(-а. Поэтому, опуская для
краткости аргументы гг и 0*, имеем
Т (Ма))^(ф1> Фг. Ф")=1Р(Ф1 -1Фг - а, • • •, ф" - а).
При малых а разложим правую часть этого уравнения как функцию п
переменных в ряд Тэйлора. Тогда, удер-
216
Глава 8
живая лишь два первых слагаемых, получаем T(RZ(а))?(<?!, ф2) фп)"Чг(ф1,
