Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
преобразованные координаты 0', ф', представляется в виде суммы
сферических функций первоначальных координат. Обратное преобразование
вращения дается в виде
так как матрица представления унитарна. Координаты 0', ф' можно считать
координатами точки г в новой системе координат, которая получается из
первоначальной действием оператора вращения R.
В качестве примера разложения (7.41) функции на ее неприводимые
компоненты укажем разложение однозначной функции, зависящей от положения
одной частицы,
(21 Д-1) (/ - го)! 4 д. (I д- т)!
X(cosa0 - 1)г/2'/! (7.48)
т'
200
Глава 7
Ортогональность сферических функций вытекает из общей формулы (4.38),
поскольку индекс I соответствует неприводимому представлению группы 91 3,
а индекс т - неприводимому представлению группы 9L2, т. е.
2Я П
S S Y&T (6, ф) Y$ (0, ф) sin 0 d0 Йф =Я (7.50)
ф - 00 = 0
Нормировочный множитель в определении функции Y$ подобран в соответствии
с этим равенством. Изложенный выше способ построения функций У$
гарантирует нам, что отношения фазовых множителей функций при
фиксированном числе I и различных индексах т согласованы с условиями
(7.40).
Е. Неприводимые семейства операторов и теорема Вигнера - Эккарта
В силу общего определения гл. 4, § 20 неприводимое относительно группы
9is семейство операторов - это множество операторов S(p* с фиксированными
индексами &=0, V2, 1, ... и индексами р=к, к-1, . . ., -к, причем эти
операторы преобразуются по неприводимому представлению D(fe). Число к
называется степенью или рангом семейства. Мы убедились в § 2, что
операторы из такого семейства должны удовлетворять следующим
перестановочным соотношениям с инфинитезимальными операторами Jq группы
913:
tv (7-51)
г
где (iqYrkp - матричные элементы оператора ig в представлении D(k>. Если
матричные элементы из равенств (7.39) и (7.40) подставить в эти
соотношения, определяющие неприводимое семейство операторов, то получим
[J*. spj^psf,
[J±, S"'>] = {(к ±р+1)(к + р)}'/<{1.
Иногда для неприводимого семейства операторов пользуются введенным Рака
термином "тензор-оператор". Неприводимые семейства операторов можно
перемножать и затем разлагать вновь на неприводимые семейства с помощью
коэффициентов Клебша - Гордана (п. Г).
Непрерывные группы и их представления
201
Мы уже отмечали в гл. 3, §8, п. В, что умножение на функцию можно
рассматривать как оператор на пространстве функций. В этом смысле
сферические функции образуют неприводимое семейство при р=к,к-1, . • .,-
к.
Сравнивая перестановочные соотношения (7.28) и
(7.30) с соотношениями (7.52), мы видим, что сами инфи-нитезимальные
операторы образуют неприводимое семейство с к=1. Оно называется "вектор-
оператором". В самом деле, как нетрудно убедиться, неприводимое семейство
J") = -J+/2*/., = J'" = J_/2V.
удовлетворяет обычным соотношениям (7.52), в которые включено условие
Кондона - Шортли для фазовых множителей. Соотношения (7.52) не определяют
операторы абсолютно. Поэтому мы произвольно положили После этого знаки и
величины операторов определяются равенствами (7.52). Операторы иногда
называют "сферическими" компонентами оператора J. Они аналогичны векторам
базиса ет, введенным в п. Д.
Согласно теореме Вигнера - Эккарта [формула (4.62)], матричные элементы
операторов из неприводимого семейства связаны между собой. Группа 5?s
просто приводима. Поэтому индекс t в формуле (4.62) не нужен. Так как
обычные коэффициенты Клебша - Гордана группы 5?3 действительны, теорему
принято записывать в виде
Цт | S</> | i'm'У = С (j'kj, m'qm) (-1)** </||S"*"[/'>. (7.53)
[Данное соотношение отличается от соотношения (4.62) тем, что в нем
изменен порядок некоторых'индексов коэффициента С, а также введен
множитель (-l)2ft. Эти изменения незначительны и равносильны другому
определению приведенного матричного элемента, которое лишь немного
отличается от исходного. Мы пользовались обозначениями книги Бринка и
Сэтчлера (см. литературу). Они отличаются от обозначений, первоначально
введенных Рака.]
Ж. Эквивалентные операторы
Чтобы пользоваться теоремой ^Вигнера - Эккарта [формула (7.53)] при
решении практических задач, нужно знать коэффициенты векторного сложения
(коэффициенты
202
Глава 7
Клебша - Гордана). Для этих коэффициентов имеются аналитические
выражения, таблицы и вычислительные программы. Но в некоторых простых
случаях так называемый метод эквивалентного оператора позволяет обойтись
без этих коэффициентов. Сущность метода заключается в двукратном
применении теоремы Вигнера - Эккарта. Один раз теорема применяется к
интересующему нас оператору, а второй - к эквивалентному оператору,
который так же преобразуется при вращениях, но который легко вычислить. В
отношении матричных элементов двух операторов коэффициент векторного
сложения сокращается. При другом подходе эквивалентным оператором
пользуются для вычисления коэффициента вектор--ного сложения.
В качестве примера рассмотри.'.! вектор-оператор Vq, т. е. семейство из
