Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
предупредить читателя о том, что разные авторы пользуются разными
обозначениями для матриц представлений D^'K Наши обозначения согласуются
с обозначениями книги Бринка и Сэтчлера (см. литературу). В основном они
определяются фоомулами (4.2), (4.8) я (7.40).
В. Характеры
Независимо от направлений осей вращения все повороты на один и тот же
угол лежат в одном классе сопряженных элементов группы М3. Следовательно,
характер вращения зависит лишь от угла поворота. Поэтому для вычисления
характера неприводимого представления Dly) мы .можем выбрать любую ось
вращения. Вращения R2(a) вокруг осп z наиболее удобны, так как мы ранее
пользовались базисом векторов ет, которые преобразуются по одномерным
неприводимым представлениям Т(,7г) подгруппы 7i2 вращений вокруг оси z.
Тогда на основании разложения (7.38) представления DiJ) на неприводимые
представления подгруппы 5?2 и в силу формулы (7.12) для характеров группы
5i2 мы можем вычислить характер
Непрерывные группы и их представления______________193
представления D^1 для поворота на угол а:
v</>
Ка
}
ехР (- ima) = exр( - г/а) [1 -f-exp (га) +
m=-j
ехр (2ia) + ехр (2 /ia)] =
= ехр (- ija) {ехр [(2/+ 1) га]- 1}/[ехр (га) -1] =
1
= 1 ехр
/+• у) ia
F.l
Х<ехр (уга
- ехр
- ехр
/+-
га
¦X
га > =я
sin (^7 + у ) а
: i
sinTe
(7.42)
В частности, характер представления с /=1, т. е. векторного
представления, равен
л/В
Ка
1
1
1 =э sin у a|smya = cosa + [^cosy a sin a{siny a 1
= cos a -J- 2 cos2 -5- a = 2 cos a -J-1,
что согласуется с равенством (4.6). Единичному элементу соответствует
угол вращения а=0, при котором характер
(7.42) равен 2/+1, что совпадает с размерностью представления D^'.
Можно показать (т. 2, приложение 4, §. 3), что соотношение
ортогональности характеров группы 5?2 содержит в левой части интеграл
2п
2^ j Х^У/*'^-cosa)da = 6/l/t.
а= О
Согласно сказанному в § 4, полная ортогональная группа Оз - это прямое
произведение группы Э13 на группу инверсий S2• Ее неприводимые
представления обозначаются символами D<-,)+ и D^-. Тогда, согласно
изложенному в гл. 4, § 21, получаем, что характеры группы Оя определяются
соотношениями
XW)±(R(e)) = X(/)(R(a)),
Хш± (S (а)) = х(/) * (R (а + я) I) = ±Х(/) (R (а + я)),
194
Глава 7
где R (а) - собственное вращение, S (а) - зеркальное вращение (гл. 9, §
1), а X(y)(R(a)) - характер, даваемый выражением (7.42).
Г. Произведение представлений
Прямое произведение двух представлений (гл. 4, § 17) будет
представлением, которое, вообще говоря, разлагается в сумму неприводимых
представлений:
d(/.)(r)d(/=)=2od(/|.
J
Нашей целью в данном пункте параграфа будет вычисление коэффициентов сг
Так же как для конечных групп, мы рассмотрим соответствующее соотношение
для характеров
v(/i),,(/a) Ч1 . "(J) (П
ка ка 2* С J ка • Л6)
J
Для определенности будем считать, что В силу ра-
венства (7.42) левую часть этого уравнения можно записать в виде
1 А . ! . , j_]
д + 7 asm дттг а .. , . . .. ,
V 2 J у1 2 ) -cos О1-И2 + 1) a4-cos(/i- ;2U _ sin2ya 2 sin2 у
a
2 sin ^/i + /2 + y') asiny a - cos (/i + /2) a-j-cos (7Ч - /2) a
2 sin2 ¦- a
sin (^/1 +/2 + 2 j a gin a sin (y2) a
.1 + "1
smy a sm' у a
или
у(й!л//Л _ Y(/i + /.) I v</i - */*1 -(/a- */a) f,a Га - ha ha ha
Повторяя наши рассуждения, получаем
%{Jl)la2)= х?Л + /,Ч if'h~1)+ xi;,'1V.e,'1)
и т. д. Вспоминая, что характер тривиального представления Dl0) равен
%a0)=l! мы после еще 2/2-2 таких шагов
Непрерывные группы и их представления
195
приходим к равенству
Сравнивая этот результат с соотношением (7.43), находим, что при (/i-
72)^/^(/i+/2) коэффициенты с7=1, а при других значениях J коэффициенты
су=0. Ясно, что условие /i^/2 не ограничивает общности рассмотрения.
Поэтому мы окончательно получаем
Эту формулу можно также вывести путем подсчета числа векторов базиса
произведения представлений, которые преобразуются по каждому из
представлений TlM) группы 912. При этом нужно также воспользоваться тем,
что представление D'7' группы 9ia содержит 2/+1 векторов, каждому из
которых соответствует одно из чисел M=J,J-1,... . . ., -J. Ограничение
|/j- /2|^/^(/i+/2) иногда называется условием треугольника из-за его
сходства с соотношением между длинами /*, /2 и J трех сторон
треугольника.
Пользуясь терминологией гл. 4, § 17, группу 913 можно считать "просто
приводимой", так как в разложении (7.44) каждое представление D<-/)
встречается не более одного раза. Исходя только из формул (7.40) для
матричных элементов инфинитезимальных операторов, можно вывести явное
выражение для коэффициентов Клебша - Гордана, введенных в гл. 4, § 17. Но
ввиду его сложности мы не приводим его здесь. Выбор фазовых множителей,
принятый в соотношениях (7.40), обеспечивает действительность этих
коэффициентов. Подробные таблицы значений коэффициентов приведены в книге
Ротенберга и др. (см. литературу). Простой способ вычисления этих
коэффициентов приводится в задаче 7.8. Подробное описание коэффициентов
