Сборник задач по физике с решениями и ответами. Часть II -
Скачать (прямая ссылка):
Так как газ атомарный, то его внутренняя энергия изменяется на величину
AU = - vRAT = - vR(T - Tq ). 2 2
T — установившаяся температура газа. Работа, совершаемая газом,
A = P(V-V0),
где р — давление, создаваемое внешними силами, которое по условию задачи остается неизменным в процессе изменения объема газа. Его можно найти из уравнения Клапейрона — Менделеева, так
81 как оно равно установившемуся давлению газа в процессе его расширения: pV=уRT .
Первое начало термодинамики в данном случае будет иметь вид
Отсюда
-vR(T -T0) + vRT
5 2 V0
'V-V1 ^ V
= 0.
3 3V
4.23. Уравнения состояния исходного газа ( /0 = 0°С) и нагретого до температуры t имеют вид
(povo =VtfT0; \pV = vRT,
где Pq , V0, Tq= 213 К и р, V. T= 213 + t — давление, объем и температура начального и конечного состояний соответственно. По условию задачи v = 1, Pq-P- Тогда из уравнений состояния газа следует
V
T = Tt
о
'о
и
pAV = RAT = R(T -T0). Работа, совершаемая газом при нагревании, равна по определению
А=рAV,
т.е.
A = R(T-T0) = RT0(n-l) = RT0 =2210 Дж,
V . где п =— = 2.
V0
Теплота, расходуемая на нагревание газа, в соответствии с первым началом термодинамики идет на совершение работы газом и изменение его внутренней энергии, т.е.
82 Q = A +MJ = RT0(n-\)+ ^R(T-Tq) =
= |лг0(я"1) = 1^0 «5670 Дж.
4.24. По закону Дальтона давление газа р равно сумме парциальных давлений
P = Pl+Pl,
где Pi — парциальное давление газа при температуре T1:
RT1
A=V1-,
Р2 — парциальное давление газа при температуре T2 :
RT2
Pl =V2
V
V— объем, занимаемый газом.
Давление всего газа после установления термодинамического равновесия согласно уравнению Клапейрона — Менделеева равно
7>=(vi+v2) — ,
T — установившаяся температура.
Так как сосуд термоизолирован, то в процессе установления термодинамического равновесия внутренняя энергия газа не изменяется, следовательно, pV = p'V, т.е. р = р', отсюда получаем
т = у\Т\ +V2T2
v1 +v2
4.25. а) По определению молярная теплоемкость газа с ^ равна
в
Ctl =
V AT
где AT — изменение температуры газа; v— число молей; Q — количество теплоты, подвешенное к газу. Величину Q можно найти
83 из первого начала термодинамики. Q = AU + А . Здесь AU — изменение внутренней энергии газа, а А — работа, им совершаемая. AU связано с изохорической (V= const) теплоемкостью газа соотношением:
AU = cvvAT, а работа А может быть посчитана как
A=\pdV,
Vj, V2 — пределы изменения объема газа при температурах Tj и T2 (AT = T2 -Tj) соответственно.
Используя уравнение состояния идеального газа pV = vRT и закон изменения давления как функции температуры р = а./Т, данный в условии задачи, сделаем замену переменной под знаком интеграла:
л, V} ^r Т}а IvRTdT „ П4_ AA= XpdV=---= IvRAT.
3 3Ta.
K1 т/
Окончательно
Q = CyvAT + 2vRAT = v(cy + 2R)AT.
Следовательно, с = су +2R.
Рассмотрим еще один вариант решения. Пусть в указанном процессе произошло малое изменение параметров: температуры T => => T + AT и объема газа в соответствии с уравнением Менделеева — Клапейрона:
AV = — \(T + AT)2-T2]= — AT(2T + AT). а 1 J а
Работа газа А = pAV (так как изменение параметров мало, т.е. Ap « р, то и переход из одного состояния в другое можно считать изобарическим)
„.to-fi-.ta^u.-
Д7--+0 AT • V дг->0 AT ¦ V 84 ,. vcyAT + v-RAT(2 + AT IT)
= lim -— Cy + 2R :
Л7"-»0 AT ¦ v
б) C = Cy - R -,
в) с = су + 2R;
ч R
г) С = Су + — .
2а
4.26. В термодинамическом процессе, в котором участвует газ, количество подведенного тепла, внутренняя энергия и работа, совершаемая газом, изменяются соответственно по законам:
T2
Q = CAT = arrat,
rp Z
AU = -RAT 2
RT
A=DAV =-AV,
У V
где AT — изменение температуры газа; AV — изменение его объ-3
ема. Коэффициент — в AU учитывает одноатомность газа, а формула для работы газа написана с учетом того, что взят один моль идеального газа.
В таком случае первое начало термодинамики для газа, свойства которого указаны в условии задачи, запишется как
\-RAT =-RAT+-AV . T2 2 V
Поделив обе части полученного соотношения на AT и рассматривая бесконечно малые изменения температуры, найдем
Hm AV - dV - V
AAO AT ~ dT ~ Г
/ -> \ j2 2
85 Экстремальные значения объема газа будут соответствовать
случаю, когда = 0 . Приравнивая правую часть последнего со-dT
отношения нулю, находим, что экстремальная температура газа равна
[2
^экстр 'Vj-lrO a245 К
Заменив в Tq на 7!жстр, убеждаемся в том, что при этой тем-dt
пературе T3kcjv , объем газа действительно максимальный, так как
dV dV
при T <ТзКСТр —> 0, а при T > Тэкстр — <0.
Возможно ответить на вопрос задачи в результате несколько упрощенных рассуждений, а именно, если согласно условиям задачи в указанном процессе при некоторой температуре объем газа дос-
dV
тигает своего максимума, то в этой точке — = 0, а следовательно,
dT
в ее окрестностях процесс совпадает с изохорическим, т.е. теплоемкость газа совпадает с теплоемкостью в изохорическом процессе
