Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Ниже мы будем в основном интересоваться локальными свойствами отображений. Для того чтобы сделать более точным это понятие, дадим следующее определение. Пусть xej4cR", V — некоторое множество и i?" — множество пар вида (U,f), где U — открытое подмножество в Rn, содержащее точку х, а /: А Г) U -> V — некоторое (произвольное, непрерывное, дифференцируемое, аналитическое,...) отображение. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности на множестве 3~\ пары и
эквивалентны, (Ub /)) ~ (U2, /г), тогда и только тогда, когда в Uif\U2 содержится открытое множество U с= R", содержащее точку х и такое, что fi | U = | U.
Класс эквивалентности по этому отношению называется (произвольным, непрерывнымi дифференцируемым, аналитическим,...) ростком f: (A,x)-+V в точке х (тильда часто опускается). Так, можно говорить о ростках дифференцируемых или аналитических отображений. Далее, поскольку всякое подмножество R" определяется отображением R“—> {0,1}, можно говорить о ростках в точке х подмножеств R . Ростки ведут себя в основном так же, как отображения. В частности, можно взять композицию ростка g в точке у и ростка f в точке х и получить
10
1, РОСТКИ постоянного РАНГА
росток g “ f (если у = {(*)):
(bn,x)-+{Rm,y)-^R\
У — f (х), g of: (R\*)-R\
Если f: U-+¦ Rm и g: V -*¦ R* — представители ростков f и g, то f \ f~l (V): f~l (V)-> Rm — представитель f. Ha f~'(V)c:U определена обычная композиция отображений gof; это отображение есть представитель ростка gof. Для дифференцируемого ростка f: (Rn, х) —> Rfc определена матрица Якоби Df (jc): R" -*¦ ->R* (линейное отображение). Росток f обладает обратным ростком (по отношению к операции ®) тогда и только тогда, когда для J найдется представитель f, обладающий локальным обратным отображением в некоторой достаточно малой окрестности точки х. А это имеет место в том и только том случае, когда невырожденна матрица Якоби Df (х).
1.2. Теорема об обратной функции (см. Дьедонне). Росток ]: (R'1, .<)-* (R'1, у) обладает обратным ростком (Rn, у) -* (R", х) тогда и только тогда, когда невырожденна матрица Якоби Df(x).
Если U с: R" и отображение f: U—>9k дифференцируемо, то отображение Df: U-+ RAn= {множество всех (А X п)-матриц) также дифференцируемо. Ранг отображения f в точке х определяется как ранг матрицы Df(x) и обозначается.через Rkxf. Если Rkxf^s, то некоторый (s X $)-мннор матрицы Df (дс) отличен от нуля. Этот минор будет отличен от нуля и в некоторой окрестности точки х, поскольку отображение Df непрерывно, а определитель (s X ^-матрицы — непрерывная функция ее элементов. Следовательно, ранг / не меньше s в некоторой окрестности точки х, т. е. ранг f локально не может падать, и, значит, отображение U—*¦ Z, задаваемое формулой х*—>Rk,/, полу, непрерывно снизу. Таким образом, дл$| любого рост-
f. РОСТКИ постоянного РАНГА
11
ка f: (Rn,je)->Rfc имеется соответствующий ему полунепрерывный снизу росток Rk f: (Rn, х) -* Z, у ь-> Rkj, f.
Теорема об обратной функции имеет важное следствие.
1.3. Теорема о ранге (см. Дьедонне). Пусть ]: (R", х)-> (Rm, у) —росток постоянного ранга (это означает, что росток Rk f — росток постоянного ото-бражения). Тогда существуют обратимые ростки ф: (Rn, х) -* (R", 0) и Ч>: (Rm, у) -+ (Rm, 0), такие, что представителем ростка
Ф-Г-Ф"1: (R". 0)->(Rm, и)
является отображение, определяемое формулой (дг,, ... ..., *„)>->(*......... . ... , 0), где Лг = Rkxf.
Забудем про ростки. Тогда этот результат просто означает, что если отображение f: Ux ->Rm, определенное в окрестности ?/s точки х, имеет постоянный ранг в некоторой, быть Может меньшей, окрестности Uj точки х, то в некоторой, возможно, еще меньшей окрестности t/3 точки х отображение f запишется в указанном выше виде относительно подходящих систем координат на R" и Rm.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что х — у = 0. Пусть f — представитель ростка J, имеющий постоянный ранг k. Тогда найдется (&Х&)-минор матрицы Df, отличный от нуля в начале координат. Сделав замены координат, т. е. применив локальные диффеоморфизмы (обратимые дифференцируемые отображения), можно считать, что этот минор есть
(dftldX)), 1
Так как этот минор отличен от нуля в начале координат, то он отличен от нуля и в некоторой окрестности начала координат.
Определим росток ф: (R", 0) -* (Rn, 0) формулой
(*,, ..., хп) >-> (f, (х), ..., fk(x), хк+1, .... х„)
(мы обозначаем компоненты f через (f,, ..., fm)).
12
I. РОСТКИ ПОСТОЯННОГО РАНГА
Тогда
’ df,/dx.
1 0
?)ф=»= 0 >
0 1
k ' n --- k
' п — k
det (Dtp) = det (dfjdx^ ^ 0.
Следовательно, росток ф обратим и диаграмма (R*, 0) -—*¦ (Rm, 0) (*,.....хя)Л(Л.........fm)
V ^
(fi> •••» /tl ^t+li •••» ^n)
