Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
le. Доказательство основной теоремы о деформациях 173
что Ф (х, и, 0 = Ф< (х, и) имеет вид (ф<(*. и), t{>((u))<= ® R" X Rr и выполнены следующие условия (мы пользуемся обозначением а<(ы) = а(ы, /)):
(a) ®<0=ids^(rt + r), а*, = 0,
(b) Ф, | R"X {0} = id <= Я (п), at (0) = 0,
(c) F(0®( + aj = Ft,.
Эти условия означают, что пара (Ф<, щ) представляет собой морфизм (г, Ft,)-*(г, Ft), который, кроме того, является изоморфизмом согласно (а).
При помощи условия (а) можно заменить условие (с) дифференциальным условием ^(/^оф^а*)=0, которое можно записать в виде
<d> Е1г<ф’«ТГ <*•“.« +
i-l
Заметим, что (Ф, t) — это сокращение для
(Ф(х, и, t), ()•
Итак, мы заменили (с) на (d) и должны попытаться решить эти уравнения относительно dcp/dt, d^(dt, da/dt. Мы ищем ростки
(п + г•+¦ I), i— I,
(г + l), /== l, ..г + l,
удовлетворяющие условию
и 1-&ь+Е?*+ь«-
i 1 1 '
---^еаг(л + г+1),
blR"X{0}XR»0, т. e. |,em(r)-#(»-fr +1), t/|{0}XR = 0, т. e. Z,e=m(r)-$(r+l).
174 16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ О ДЕФОРМАЦИЯХ
Убедимся, что это именно то, что нам нужно. Предположим, что и ?/ уже найдены. Пусть Ф и а — решения системы дифференциальных уравнений
с начальными условиями Ф<, = id и а<, = 0; тогда Ф и а удовлетворяют условиям (а), (Ь) и (d).
Далее, поскольку dF/dt = g — / е ш(г) В [п + г + 1). для доказательства (е) достаточно показать, что
где (Ьи ..Ьк)д, как обычно, определяется формулой
Для доказательства этого включения остается только показать, что
{*) В (п +г + 1) + (dF/dx,)g (n+r+ „ + (dF/du,\ (r+1) +
Мы хотим воспользоваться тем, что гомотопия Ft есть &-трансверсальная деформация ростка ц. По лемме 16.4 получаем
и (п) - (дц/дх^ {п) + (dF'Idu, | Г X {0}>й + m («)*+«.
Средний член в правой части упростился, потому что мы предположили, что Ft | {0} X Rr = 0. Так как росток ¦»! ^-определен, т. е. ш (n)*+1 cz (дг\1дх{), можно опустить последний член. Полагая дг\/дХ{ = = dFrfdxt | Rre X {0}. получаем
и (n) = {dFijdx, | R" X {0})* {п) + (dFtfdUj | R" X {0»R.
Чтобы доказать равенство (*), рассмотрим уравнение. В (п-\-г-f 1) = ш (я) В (я -f- г + 1) + В (г 1).
dcpi/dt =h (ф, Ч». 0.
=s, (-ф, о» i<r,
da/dt = ?г+1 (ф, t)
m(r)B {n-\- г 1) с: (dF/dxi)
m (r) J? (r+I)»
+ B(r+ 1).
16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ О ДЕФОРМАЦИЯХ 175
Если + то мы только что
показали, что в
(dF/dx^ (n+r+1) + {dFjdu,)% (r+I)
существует элемент, который совпадает с g по крайней мере на множестве Rn X {0} X {<о}- Элементы пространства 8 (п + г + 1), которые обращаются в нуль на RnX{0}X{M. лежат в m (г + 1) • 8 (n-f г + 1). Собирая все вместе, получаем
+ #(r+ 1) + m(r-f \)8{п + г + \) = 8{п + г+ 1).
Пусть С = 8 (п г 1) — конечно порожденный 8 (п + г + 1)-модуль. Пусть А «* (dF/dx^ (n+r+I) — подмодуль в С и
B = (dFjduj)Ur+i) + 8{r+l).
Введем на С структуру 8(г + 1)-модуля с помощью вложения 8 {г + 1) cz 8 (п + г + 1). Тогда для 8(г-\- 1)-модулей В и С выполнено включение В cz С. Заметим, что В конечно порожден над 8 (f -1- 1). Мы знаем, что
(**) >4. -I- -I- trt (/¦ —1) С = С,
и хотим показать, что
(*) А + В = С.
Чтобы вывести это из имеющейся информации относительно А, В и С, достаточно рассмотреть случай Л = 0 (т. е. вычислять по модулю Л). Рассмотрим индуцированное проекцией отображение 8 (г + !)-*• —*8 (л + г+ 1). Это отображение позволяет рассматривать каждый 8 (п + г + 1)-модуль как 8 (г -f ^-модуль. Про наши модули мы знаем, что
В конечно порожден над 8 (г + 1),
С конечно порожден над 8 {п + г + 1),
В + т(г+ 1)С = С.
176 te. Доказательство основной теоремы о деформациях
Образующие Ьи bs модуля В порождают векторное пространство С/m (г+1) С. Из следствия 6.6 подготовительной теоремы вытекает, что эти образующие порождают С как S (г + 1)-модуль. Следовательно, В ~ С.
Итак, мы закончили последний шаг доказательства теоремы Мезера об универсальных деформациях. |
17. РИСУНКИ
СЕМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
Литература: А. N. Godwin, Three dimensional pictures for Thom’s ^parabolic umblllc, IHES Publ. Math., 40 (1971), 117-188.
0. Wassermann, Stability of unfoldlngs, Dissertation, Regensburg 1973, Springer Lecture Notes. 393 (1974).
0. Wassermann, (r, ej-stablllty of unfoldlngs, preprint.
Напомним, что теория элементарных катастроф во самой своей природе локальна. Эта теория рас* сматрирает семейство потенциальных функций Тв: R, где X —подмножество в R", содержащее
некоторую окрестность начала координат, а пара* метр и пробегает открытое множество U cz R'. Можно ечнтать, что X *=Rn. Каждая отдельная катастрофа определяется ростком rj е m (nf, который включается в росток деформации (г, f), f ш m(ij -f г).
