Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
q>(x, и) = ((pi(x, и), Ф(и))
R,,+r Ra+S
-4 1Я*
Rr - -^R‘
Выбрав представитель ростка а, мы можем сопоставить каждому и е Rr, близкому к началу координат, параллельный перенос аи. Этот перенос аи: R-*R задается формулой au{t) = t + а{и). Условие (iii) нашего определения выражает тот факт, что ростки f и g связаны соотношением
f(x, u) = auogcq>(x, и).
Это определение понятно, хотя было бы более естественно рассматривать семейство произвольных преобразований аи, а не только трансляций (или, наоборот, вовсе не делать преобразований в образе). Определение, которое мы дали, принадлежит Мезеру и является сравнительно простым. Во всяком случае это определение позволяет смещать начало координат для каждого и с помощью трансляции. Общий случай разобран Вассерманом.
Композиция морфизмов определяется очевидным образом:
(Ф> <*) (Ф, Р) = (ф0 Ч>, Р + а о М;).
При фиксированном аеР/, где Rr —второе пространство параметров, выражение р (ц) + a'F (ы) описывает композицию трансляций, а именно av^i)<>bu
14. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОСОБЕННОСТИ
151
Ясно, что морфизм (ф, а) обратим (является изоморфизмом) в том и только том случае, когда обра* тим росток ф, В частности, обратим морфизм
(id, а): (r,fl*M + a).
Функция а позволяет нам добавлять к ростку в слое над и константу а(ы).
14.3. Введем сложение деформаций:
(г, f) + (s, g) — (r + s,f + g — rj), где последний член определяется формулой
tf + 8 — v)(*. «,») = /(х, и) + g{x, v) — ti(*).
14.4. Постоянная деформация (г, rj) определяется формулой
Т) (х, ы) — т) (х).
Ясно, что
(г, И + (S, л) — (г + S. /)•
Формула в пункте (iii) определения морфизма показывает, что деформация (г, /) определяется морфизмом (ф, а) и деформацией (s, g). Следовательно, мы можем дать такое определение.
14.5. Определение. Пусть (s, g) — деформация ростка т). Предположим, что ростки ф (п + г,п + s) и ®e?(r,s) удовлетворяют условиям (i) и (ii) из
14.2. Пусть а е m(r). Деформация (г, f), определяемая формулой (iii), называется деформацией ростка т), индуцированной деформацией (s, g) с помощью морфизма (ф, а).
Деформация (г, /) ростка называется еерсальной, если всякая деформация ростка rj индуцируется деформацией (г,}) с помощью подходящего морфизма.
14.6. Пример деформации. Пусть rje ш (/г) — некоторая особенность, и пусть Ьи ..., 1геш(д); тогда
/(х, ы) = л(дг) + М*)и, + • • • + Ьг(х)иг является деформацией ростка tj.
152
14. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОСОБЕННОСТИ
Эта деформация есть сумма однопараметрических деформаций
f(x, ы,) = ц(дс)+ &,(*)«<•
14.7. Определение. Коразмерностью особенности т) называется число codim tj = dimR (m (n)/(di\fdxi)iM^
Версальная деформация (r, f) с минимальным значением г называется универсальной деформацией.
Важность понятий универсальной деформации и коразмерности демонстрирует основная теорема о деформациях.
14.8. Теорема (Мезер). Особенность т)ет(л) обладает версальной деформацией в том и только том случае, когда коразмерность л конечна.
Любые две r-параметрические версальные деформации ростка л изоморфны.
Всякая версальная деформация изоморфна сумме (г, f) + const, где (г, f) — универсальная деформация.
Если {&|, ..., Ьг} с: пт (п) — произвольный набор представителей элементов базиса, векторного пространства ш in) /(dr\/dXi)y[n), то деформация f ростка
т), определяемая формулой
f (дс, и) = i\ (х) + bt (х) щ + ... + ЬГ [х)иг,
является универсальной.
(Доказательство этой теоремы займет всю гл. 16.)
14.9. Пример. Для сокращения обозначений будем далее вместо (дх\/дх,)^{л) писать просто (dt\). Пусть
п— 1 и т}(дс) = Тогда (dri) == (дс*-1) и базисом пространства mj(dr\) служат смежные классы элементов дс, дс2....дг-2. Следовательно, деформация
f (дс, и) = дс" + un~2xn~2 + «л,-j дс*~3 + ... + щх
является универсальной деформацией ростка xN. Более общо, пусть
Ti(x) = xf ±х|±4±... ±дс2;
14. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОСОБЕННОСТИ
163
гогда = jc2, jc„), поэтому деформация
f (х, и) = 1\ (х) + Чц-tX1*-1 + ... + UtXi
ростка г} является универсальной.
Последнее замечание можно сформулировать и в общем случае.
14.10. Замечание. Если ti(x,, ..., хк) имеет уни-
версальную деформацию tj + f(jc,, xkt и) н если q(xk+u ..., х„)~невырожденная квадратичная форма от (других) переменных xft+1, .х„, то в качестве универсальной деформации ростка можно взять Ц + Я + fixь •••, хк, и). Это утверждение вытекает из того, что подходящей линейной заменой координат можно привести q к виду ±х*-и • .±Хл и, сле-
довательно, (<3(л+9))=(*1. хк+и...,ха). в этих К00Р* динатах пространства m(n)/(d(ri + <7)) и m(k)/{di\) имеют «один и тот же базис».
Итак, при вычислении универсальной деформации удобно прежде всего преобразовать особенность так, чтобы как можно больше независимых переменных входило только в квадратичные члены, не зависящие от остальных переменных.
