Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
14.11. Определение. Корангом особенности rjem(ri) называется коранг гессиана (д-ц/дх* дх/(0)), т. е. ко-ранг квадратичной фермы, заданной 2-струей.
14.12. Лемма о разложении1). Всякая особенность tj е= ж (п) коранга п — r правоэквивалентна особенности вида
q С*!» • • ¦, xr) -J- ? (Xf+ij • • • 1 ’X^}t где = 0 и q — невырожденная квадратичная форма.
Доказательство. Сделав линейное преобразование, мы всегда можем привести 2-струю ростка т| к виду q (jc,, ..., xf) — ± х* ± ± х*. Положим 0 « r\ | R';
тогда <7 является 2-струей 0. Отсюда следует, что росток 0 2-определен (11.3) и, следовательно, г-экви-
*) В оригинале; splitting lemma. — Прим. мрев.
154
14. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОСОБЕННОСТИ
валентен q. Таким образом, можно считать, что Л | Rr — q. Очевидно, что универсальной деформацией ростка q служит деформация (0, q), так как (dq)=* ~(хi, ..., хг). Значит, росток tj можно рассматривать как версальную деформацию ростка q, поскольку деформация 1} содержит универсальную деформацию. Согласно основной теореме, версальные деформации данной размерности изоморфны, поэтому (n-~r,q) изоморфно (п — г, г]), т. е. существуют росток (—?) е ет (п — r) и обратимый росток q>, такие, что
q (¦*¦!> > • • 1 ¦?/•) ~~~ лф (-^ь • • ¦» %п) ~~ S (¦^/+ь • • • I хв). Доказательство леммы о разложении окончено. Ц
Напомним, что коразмерностью ростка т] называется число dimRnt(/t)/(dri). Наибольший интерес представляют такие ростки, у которых универсальная деформация зависит, не более чем от четырех параметров, т. е. codimr}<;4.
14.13. Замечание. Если corank т) — г, то codim «5» (Г 2^ j. В частности, corank г] ^ 3 =ф codimrj ^6.
Доказательство. Если corank т} — г, то по лемме о разложении росток tj в подходящих координатах принимает вид
П -ж*. *з.....хг) + q{xr+u ..., хп),
где /2? = 0.
Рассмотрим векторное пространство, получаемое из т(п)/(дт]) взятием 2-струи и приравниванием 0 всех координат, кроме первых г, т. е. пространство /2И1(г)//2(д?). Ясно, что размерность этого пространства
меньше, чем codim л. Далее, dim j2m (г) = г + ( г 1 ^
и dimy^d^^r. Действительно, элементы dtjdxi сами порождают вещественное векторное пространство Р{д&, поскольку каждый элемент dl/dxi принадлежит Следовательно,
codim т] ^ dim у2m (л)// (<??) ^ ( Г \ * ) • В
14. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОСОБЕННОСТИ
155
Итак, если мы интересуемся универсальными деформациями, имеющими не более 4 параметров, то мы можем ограничиться рассмотрением особенностей т| (х, у) от двух переменных, которые имеют коразмерность <!4 (невырожденную квадратичную форму ц можно не принимать во внимание). Эти особенности автоматически оказываются конечно определенными, точнее 6-определенными. В подходящих координатах они записываются как многочлены от двух переменных степени ^6.
При изучении конечно определенных ростков мы использовали число dim nt (rt)/m (л) (дт^ и заметили в гл. 11, что
ш (п) <ат|> + <dri>R = (дг\)^ (ч).
Отсюда яытекает такое утверждение.
14.М. dim (nt (rt)/m (п) (<?п)) ^ dim (nt (n)J{dr\)) + п, причем равенство достигается, если элементы dr\/dxt mod nt (п) (drj) линейно независимы. В частности, росток т) конечно определен (dim (ш (>г)/т(п) (<?т]))< <оо) в том и только том случае, когда codim'n < 09 (см. 11.10).
14.16. Лемма. Если коразмерность ростка т) ко* нечна (г) конечно определен), то dim (nt (л)/т(я) (дх\)) =» = codimrj + п.
Как мы знаем из леммы 11.8, левая часть последнего равенства есть коразмерность орбиты ростка т] под действием группы правых преобразований в пространстве nt(rt). В гл. 16 мы увидим, что г-п?раметри-ческое семейство функций определяет росток отображения (Ra+r, О) -*¦ ш (п). Если r-параметрическое семейство общего положения содержит росток т), то соответствующий росток (Rn+r, о) -> nt (п) трансверса-лен орбите, проходящей через rj. Лемма показывает, что в случае, когда росток rj обладает r-параметрической деформацией общего положения, коразмерность ^ не превосходит г.
156
14. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОСОБЕННОСТИ
Доказательство леммы. Мы должны доказать, что элементы di\!dxt линейно независимы mod ш(я) (дц). Если это не так, то найдутся такие константы at е R и ростки ut&m (я), что
Проинтегрируем векторное поле ?(а< —ut)dld-':t и выберем координаты так, чтобы его интегральные кривые задавались уравнениями Xi = ch где / >1 и c(eR. В этих координатах векторное поле принимает вид р(х)д/дхи где р (х) Ф 0. Поэтому dn/ctet^O. Другими словами, rj ве зависит от хх и,, следовательно, элементы xt, х*, х®, ... линейно независимы в т(я)/(дп)- Отсюда мы получаем, что коразмерность tj равна оо, и приходим к противоречию. В
Остаются нерешенными две задачи: во-первых, дать полную классификацию особенностей коразмерности <4 и их универсальных деформаций (гл. 15)
и, во-вторых, доказать основную теорему о деформациях (гл. 16).
т. е.
at — щ (0) ф 0 для некоторого /.
