Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Координаты в Rr будут попеременно называться либо триметрами деформации т), либо внешними параметрами модели.
Определения. Локальным режимам в точке u&U Называется любая из точек локального минимума функции flR"X{«}.
Процессом {простейшая интерпретация), связанным с ростком 1} (или f), называется такое сеченне s расслоения R"X ?/-*?/, что точка (5 (и), и) есть либо локальный режим, либо бесконечность. Это сечение должно быть определено на открытом плотном под* множестве.
Прошлом называется способ сопоставления деформации f некоторого процесса, связанного с /.
Регулярной точкой процесса s называется такая точка U&U, в которой сечение s определено и
178
17. РИСУНКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
непрерывно в некоторой окрестности рассматриваемой точки. Эквивалентное определение регулярной точки: существует сохраняющий слои гомеоморфизм про* образа некоторой окрестности такой точки, переводящий s в постоянное сечение.
Точкой катастрофы называется любая нерегулярная точка в U.
Морфологией катастрофы или множеством катастроф называется множество всех точек катастрофы. При изучении геометрии особенности л с помощью ее деформации f первое важное множество — это
2, - {(.х, и) е Rn X U | dxf (х, и) = 0},
где
dxf(-,u)~D(f\rX{u}).
При каждом фиксированном и среди точек 2^, лежащих в R^XM. 'находятся как локальные минимумы функции /1 R" X {«} (т- е. режимы), так и ее локальные максимумы. Рассмотрим далее множество
Д{= {(jc, и) е | форма d\f (х, и) вырождений}
и его образ Df — n(kf) при проекции я: RaXV-*-U. Точки множества Df —- важные кандидаты на роль точек катастрофы.
Что же касается правил, то рассмотрим два основных из них. Правило Максвелла предписывает взять в качестве s(u) такую точку, в которой /IR^XO*} достигает наименьшего из минимумов. Поскольку одним из значений этого минимума может оказаться — оо, правилом Максвелла лучше пользоваться тогда, когда f имеет конечные минимумы. Ясно, что точки катастрофы возникают тогда, когда f\ R" X {«} достигает абсолютного минимума в двух различных местах.
В случае когда U — подмножество в многообразии пространство-время, мы сформулируем еще одно правило при следующем дополнительном предположении: U расслоено на неособые одномерные подмногообразия, называемые временньши кривыми. Каждая
17. РИСУНКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
179
из них занимает в пространстве фиксированное положение и параметризована временем. Координаты локальной модели вовсе не должны быть локальными декартовыми координатами в многообразии пространство-время.
Правило минимального отставания ') предписывает сечению 5 оставаться непрерывным столь долго, Сколь это будет возможно. Это означает, что вдоль временных кривых s («) должно быть непрерывным семейством точек минимума до тех пор, пока эти минимумы не исчезнут. Только в этот момент s должно перескочить к другому семейству точек минимума.
Существуют и другие, более тонкие определения процесса. Одно из них, весьма обычное в работе Зи* мана, состоит в том, что каждому гладкому пути т, лежащему в U, сопоставляется сечение sx расслоения RnXT-»Tf такое, что точка (st {и), и) есть либо локальны^ режим, либо бесконечность. При такой схеме каждый путь имеет направление, в котором возрастает параметр, и правило минимального отставания действует вдоль каждого пути: sx остается
вдоль каждого пути непрерывным столь" долго, сколь это возможно. При этом описании мы столь же вольно обращались с моделями Зимана, сколь в предыдущем — с моделями Тома.
Теперь мы опишем семь элементарных катастроф.
Складка
Деформация: f (х, и)—х1 + их,
2/= {(*,«) 13** + 4»*о},
А, “{(О, О»,
?>,-{<>>.
Нарисуем график f. При отрицательных значениях и функция f имеет один локальный минимум, а при
') В оригинале: perfect-delay convention. — Прим. мр$в.
180
17. РИСУНКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
положительных и вовсе не имеет локальных минимумов (рис. 1). Множество 2/ в (х, и)-плоскости изо*
бражено на рнс. 2. Ясно, что при положительных значениях и процесс $ может быть только в бесконечности, а при отрицательных и значение s (и) равно
17. РИСУНКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
IB!
либо —- У—«/3, либо бесконечности. Таким образом, если и — временная координата, то мы можем пред* ставлять себе некое явление, описываемое параметром х, которое до момента ««=0 находится в состоянии, задаваемом формулой х «* —- У— и/3, а в момент я О скачком переходит в некоторое другое состояние, не описываемое рассматриваемой локальной моделью (отсюда, конечно, не следует, что это явле* яие вообще исчезает).
Характерная особенность этой модели — быстрое изменение параметра х в моменты, предшествующие исчезновению локального режима.
Сборка
Деформация: f (х, и, v) *=* х* — их3 + ох,
2/ •* {(*, и, о) J 4*3 — 2их -f о -* О},
