Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Если Множество V неприводимо и то V cz V ((/»IJ V {{g)), поэтому без
ограничения общности можно считать, что У сг V ((f)) и, следовательно, / ел(V).
Обратно, предположим, что V приводимо, а именно У с: Л U В, и V ф В. Возьмем такие f е п (Л)
и gen(B), что f ф.ъ(В) и g$? й(Л). Тогда
f •gen^UB)crn(V), но f&n(V) и gf?n(V). I
Пусть а — некоторый идеал в /С[д:]. Рангом идеала а называется число
р (а) — max Rk* (fi.../*),
ieV(a)
где fi, ..., /* — любая система образующих идеала a и
Rkj,(/i, .... /*) = ранг((*))-
134
12. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЛИЧ. ГЕОМЕТРИИ
Ранг р идеала а действительно не зависит от выбора системы образующих, так как если gm—
другая система образующих, то gt = Yiaitfl Для некоторых ai} <= К [jc]. Поскольку fi(x) = 0 для геУ, получаем, что на V
Следовательно, RMg,, ..., gmXRM/i, fk) для jeeV; соответствующее рассуждение в другом направлении дает равенство.
Для простоты мы будем, начиная с этого места, предполагать, что К — R или С.
Пусть Уф0 — многообразие (неприводимое). Поскольку n (I/) — простой идеал, /С[х]/п(У) -- кольцо без делителей нуля. Рассмотрим его поле частных:
I<(V)-^Q(K[x]/n(V)).
Векторное пространство (К (Vr))r* n-строк над полем К(У) содержит точку х = (хи хп), координатами которой являются переменные xt по модулю п(К). Эта точка называется общей точкой многообразия V. Далее, имеется каноническое вложение К, с: /С (10, и, значит, мы можем подставить точку из (K(V))n в любой многочлен /е/С[х]. По определению общей точки получаем:
12.7. Многочлен / <= /С[*] обращается в нуль на V в том и только том случае, когда f обращается в нуль в общей точке'.
f е=п(1/)Ф»/(*)-0 в К(\0-
В частности, ранг идеала п(У) равен рангу системы образующих (/,, /*) идеала п(У) в общей точке.
Это вытекает из того, что любой минор Ф матрицы (df ,/dXj) удовлетворяет условию ф(У) = 0в том и только том случае, когда Ф (х) = О для общей точки х<==К (V).
12.8. Определение. Размерностью многообразия V называется степень трансцендентности поля K(V) над полем /(.
12. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЛИЧ. ГЕОМЕТРИИ 135
12.9. Теорема. Размерность многообразия V сг К.п равна корангу идеала n (К), г. е. dim V = п — р (п (V)).
Доказательство. Пусть dim У = г2 = степень трансцендентности К (V) над К¦ Сделав подходящую перестановку координат, можно считать, что элементы xd + ,e/C(V) алгебраичны над полем К(хи ..., xd). Следовательно, существует неприводимый многочлен gi (многочлен наименьшей степени), такой, что &<(*!, ...
• ••» *<(» xa + i) = 0 в /С(V), или, эквивалентно, §(еп(К), В частности, dgildxd+i(x)^ti в /С (К). (Если dgiJdxd. ь гз=0, то gt как многочлен от переменной xd + i есть константа. Тогда (*!......xd) алгебраически зависимы.
Если dgi/dxd+i^О, то равенство dgj/dxd+l = 0 было бы алгебраическим соотношением для xd, степень которого меньше, чем степень соотношения gt (х) = 0.)
Отсюда вытекает, что матрица (dg-JdXj (х)) имеет ранг п — d в общей точке и g,en(l/) для любого i. Поэтому р (п (К)) ^ п — d.
Теперь покажем, что p^n — d.
Для этого мы используем два факта. Во-первых,
дифференцирования Dt поля К(хх.......х„), обладающие
тем свойством, что Z),-1К — 0, однозначно определяются уравнением DiX}~bi}. Во-вторых, всякое дифференцирование поля (в данном случае К(х\, ..., xd)) можно единственным образом продолжить на алгебраическое расширение этого поля (в данном случае — поле К (К)).
См. Ленг, Алгебра, X, § 7, предл. 10. Определение Dt на рациональных функциях из К (х) использует обычные правила дифференциального исчисления. Расширение D с поля К на поле К {у), где // — алгебраический элемент, определяется минимальным многочленом элемента у. Пусть р (у) — ? Р/У1 — минимальный многочлен. Положим p°(y)=:TjD{pi)yl. Тогда D(p(y)) = Q = pD{y) + p'{y)-D(y).
Поскольку многочлен р минимален, р'{у)ф0, и мы получаем формулу, из которой определяется D(y). Тем самым дифференцирование задается на К (у)-
Векторное пространство дифференцирований ноля /С (V), обращающихся в нуль на К, в нашем случае
136
12. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРАИЧ. ГЕОМЕ+РИИ
имеет размерность d. Базисом этого пространства является [Di | i = 1, ..., d), где D<(xy) = 6// для Если [fi, .... /*) —система образующих идеала n(V)f то в общей точке х мы имеем //(х) = 0. Следовательно»
1 v-J d+')
Итак, для минимальных многочленов gv элементов ха+ч имеем
+i^,jD^+v)=o, v=l...................n~d•
axi ° d + v
Подставляя это равенство в предыдущие, находим,
что в общей точке
Vi д'П dSv ( V' , j
дХ‘ ~"^1 dX“+v ' dX‘ / AJlfl l~~..........
Тем самым показано, что первые d столбцов матрицы ?>/ (х), х е К (УУ\ СУТЬ линейные комбинации последних п — d столбцов. Следовательно, р ^.n — d. В
