Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
90 изображении механических ВПЛИЧИП ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
(для этого полагаем в (18.7) //* = я]?*, и» = я]?). Из сравнения (19.1) и (19.Г) следует, что
L = Z*, (19.2)
т. е. среднее значение величины, изображаемой самосопряженным оператором, вещественно.
Мы получим более детальные сведения о величине L, если помимо ее среднего значения L найдем еще и среднее квадратичное отклонение (AL)2, указывающее, насколько в среднем отклоняются результаты отдельных измерений в ансамбле от их среднего значения. Вычислим (AL)2. Для этого следует построить оператор, изображающий величину (AL)2. Отклонение от среднего определяется как AL = L—L. Стало быть, оператор, изображающий AL, имеет вид
AL-L-I. (19.3)
Так как квадрат отклонения (AL)2 = (L — I)2, то оператор для (AL)2 будет следующий
(а/.)2= (L-L)2. (19.4)
Пользуясь общим определением среднего значения (19.1), мы найдем
(AL)2 = ^*(AL)2ydx. (19.5)
Таким образом, зная оператор L, мы можем вычислить и (AL)2.
Величина (AL)2 должна быть неотрицательной. Это легко доказать, пользуясь самосопряженностью оператора L. Так как L есть число, то оператор AL также самосопряженный. Поэтому, пользуясь
(18.7) и полагая в (19.5) ty* = и*у {&Lty) = u2i находим
(AL)2 = \ (ALi|>) (aL*^*) dx = \ | ДЬз J2 dx, (19.6)
так как | AL\\> |2 > 0, то из (19.6) следует, что
ЩТ2^ 0, (19.7)
т. е. (как и должно быть) среднее квадратичное отклонение всегда
положительно или равно нулю.
§ 20. Собственные значения и собственные функции операторов и их физический смысл. «Квантование»
Формулы предыдущего параграфа дают выражение для среднего значения L и среднего квадратичного -отклонения (AL)'1. Эти формулы ничего не говорят о том, каковы будут значения величины L в отдельных измерениях.
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
91
Чтобы найти возможные значения величины L, обратимся к таким состояниям в которых интересующая нас величина имеет только одно значение L. В таких состояниях среднее квадратичное отклонение (ДL)2 = 0. Стало быть, для этих состояний на основании
(19.6) имеем
$|ALi|>i|a<ix = 0. (20.1)
Так как под интегралом стоит существенно положительная величина, то из (20.1) следует
| |2-0.
Модуль комплексного числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Поэтому мы получаем
Д^ф/, = 0
или, имея в виду определение оператора ДL (19.3) и то, что в рассматриваемом состоянии L = L, находим окончательно
Li|)jr=Li|)i. (20.2)
Так как L есть оператор, то найденное нами равенство
является линейным уравнением для нахождения волновой функции xpL того состояния, в котором величина, представляемая оператором L, имеет единственное значение L. В большинстве случаев оператор L будет дифференциальным оператором и уравнение
(20.2) — линейным однородным дифференциальным уравнением.
Известно, что решение дифференциального уравнения определено единственным образом только в том случае, когда заданы краевые условия 2).
С другой стороны, при заданных краевых условиях линейное дифференциальное уравнение L\р = L\р имеет нетривиальное (т. е. отличное от нуля) решение, вообще говоря, не при всех значениях параметра L, а только при некоторых определенных: L = Lly L2, L3,..., Lny... Соответствующие решения г^, я|)2, г|)3,..., а|эя,... называются собственными функциями, а значения параметра Lu L2, L3,..., L„,..., при которых существуют решения, называют собственными (иногда говорят характеристическими) значениями параметра уравнения (20.2).
Наиболее общеизвестный пример такой задачи представляет задача о колебаниях закрепленной на концах струны. Уравнение движения в этом случае имеет вид
-?- + /г2« = 0, (20.3)
*) Речь идет об уравнениях, не содержащих производных по времени, гак что задание начальных данных отпадает.
92
ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
А d2
так что L — —a L = k2. Область, в которой ищется решение,
есть где / — длина струны. Краевые условия будут
и = 0 при л: = 0 и х = 1. Собственные функции для такой задачи
равны ип (лс) = sin а собственные значения Ln — k% — —jr~
(п = 1, 2, 3,—).
В квантовой механике золновая функция всегда определяется во всей области изменения тех переменных, которые являются ее аргументами (например, ^(х, у, г) определено в области: — оо <*•< <4- оо, — оо < у < + сх>, — оо<г<+ооит. п.). Поэтому в квантовой механике мы не можем сформулировать краевые условия для волновой ‘функции столь непосредственным образом, как они формулируются в классических задачах о колебании тел.
Однако можно показать *), что из требования сохранения полного числа частиц вытекают некоторые естественные требования к волновым функциям, которые оказываются эквивалентными краевым условиям. Требования сохранения числа частиц сводятся к тому, что вероятность найти частицу где-либо в пространстве не должна зависеть от времени, т. е.
~ ^*1Му = 0, (20.4)
где интеграл распространен по всей области изменения аргументов ^-функции, так что он равен вероятности того, что частица обязательно где-то находится. Суть дела заключается в том, что условие (20.4) может быть выполнено только тогда, когда волновые функции имеют достаточно корректное поведение, а именно: 1) если они конечны во всей области изменения переменных, за исключением, быть может, некоторых (особых) точек, где они могут обращаться в бесконечность, не слишком сильно2), 2) если они имеют достаточное число непрерывных производных (также могущих в отдельных точках не слишком сильно стремиться к бесконечности), 3) если они однозначны. Более жестко, но достаточно для целей нерелятивистской квантовой механики эти требования могут быть сформулированы в виде трех требований: 1) конечности, 2) непрерывности и 3) однозначности волновой функции во всей области изменения ее аргументов.
