Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
4> = 4>(в, Ф). (25.11)
Уравнение для определения собственных значений оператора Д12, согласно (20.2) (полагаем там L — AI2, L = M2), будет
= (25.12)
Вставляя сюда М? из (25.9) и обозначая
Ь = (25.13)
мы получим уравнение (25.12) в виде
lSTw(sine^) + SFe$ + ^ = 0- <25Л4>
Это уравнение мы должны решить для всей области переменных 6,ф(0<: 0 я, 0 ф 2 я), причем интересующие нас решения должны быть конечными, непрерывными и однозначными. Уравнение (25.14) хорошо известно. Это — уравнение для сферических функций. Подробные сведения об этих функциях и о решении уравнения (25.14) приведены в дополнении V. Здесь мы ограничимся лишь кратким резюме.
Оказывается, что решения этого уравнения, удовлетворяющие поставленным условиям, существуют не при всех значениях Я, а лишь при
Я = /(/+1), (25.15)
где / — целое положительное число.
При каждом таком значении I имеется 21 + 1 решений, которые представляют собой сферические функции. Мы обозначим их так:
Y'm (0, ф) = уЛ (/^1+|'1'|()!/4я11- РГ (C0S ?> е'тф’ (25-16) где т — целое число, ограниченное следующими значениями:
« = 0, ±1, ±2, ..., ±1; / = 0, 1, 2, 3, ... (25.17)
(всего 21 + 1 значений). Знаком | т | обозначено абсолютное значение числа т. Функция Р\т^ (cos 0) определяется так:
, , l?Ll л\т\
P\ml(t) = ( 1-i2) 2 ~рЛ1), l = cos6, (25.18)
108 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН СШеРАТОРАМЙ 1ГЛ. III причем Pi (|) есть так называемый полинвм Лежандра
pi(t)-mwli?-iyi (25Л9)
Множитель, стоящий перед Р\т\ выбран так, чтобы ортогональные функции Yim были, кроме того, и нормированными к единице на поверхности сферы, т. е.
Я 2л
$ $ ypm’Yim sin 0 de (25.20)
о о
(Координаты 0 и ф отмечают точки на поверхности сферы. Элемент поверхности сферы единичного радиуса равен sin 0 dQ d(p.)
Используем теперь эти результаты для нашей задачи. Как уже было сказано, уравнение (25.14) имеет однозначные и конечные решения лишь при значениях X = / (/ + 1). Поэтому собственные значения оператора квадрата момента импульса будут
Mj = H4(l+1), 1 = 0, 1, 2, ..., (25.21)
а соответствующие собственные, функции суть
¦/* (0, ф) = Уш (0, ф), т = 0, ± 1, ..., ± I. (25.22)
Собственному значению М\ (25.21) принадлежат всего 21 + 1 собственных функций, отличающихся значением числа т. Таким образом, мы имеем дело со случаем вырождения (см. § 21). Сущность этого вырождения легко уяснить себе, если обратить внимание на то, что собственные функции оператора квадрата момента импульса Мг являются также собственными функциями оператора проекции момента импульса на ось OZ Мг. В самом деле, уравнение для собственных функций оператора Мг есть
ад = ад, (25.23)
подставляя сюда Mz из (25.8"), получим
(25.23')
Если сюда подставить %ст, то, имея в виду, что пропорционально е'тф, мы найдем
— itl • irw\itm = Мг%т, ¦
т. е. уравнение (25.23) удовлетворяется функцией ifrm, причем собственные значения оператора Мг равны
Мг = Нт, т = 0, ±1, ..., ±1. (25.24)
ОПЕРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦЫ
109
Отсюда следует, что состояния %т при заданном полном моменте М| (дано /), различающиеся индексом т, суть состояния с различными проекциями момента на ось OZ.
Полученный нами результат показывает, что возможные значения абсолютной величины момента импульса (25.21) и возможные значения проекции момента импульса на произвольную ось OZ (25.24) имеют квантовые значения. Никакие другие значения, кроме приведенных, не могут реализоваться в природе. В состояниях, в которых М2 и Мг имеют определенные значения, проекции Мх и Му не имеют определенных значений (кроме случая 1 — 0, когда М2 = Мх = Му = Мг = 0). Действительно функции (25.22) не являются собственными функциями операторов Мх и Му (25.8), в чем тчожно убедиться непосредственно. Это же вытекает из неко'м-мутативности Мх, Му, Мг.
Разумеется, что возможные значения Мх и Му таковы же, как и Мг (25.24), ибо направление OZ ничем не выделено, и чтобы убедиться в справедливости нашего утверждения, достаточно представить себе, что ось ОХ или OY принята за полярную ось. Поэтому, если мы будем измерять Мх или Му, то мы получим всегда одно из значений Нт (т = 0, ± 1, dt 2,'..., ± /), но при этом возникает новое состояние с определенным значением, скажем, Мх. Это состояние ‘ будет состоянием с неопределенными Му и Mt, т. е. одновременные измерения компонент момента импульса взаимно исключаются: измерение одной компоненты делает неопределенным значение другой.
Обратим внимание читателя на некоторые свойства симметрии собственных функций операторов момента количества движения. Произведём операцию замены координат х, у, г на —х, —у, —г, соответственно (отражение от начала координат), которая называется операцией инверсии. В' сферических координатах это означает замену координат г, 6, Ф на г, я — 0, ф + я соответственно. При таком преобразовании координат е,тф переходит ве'т(ч,+я)= = (—1)те'тф, а Р\т' (cos0) в Р|т|(—cos©) = (— 1у+^\.р^ (COS0) (см. (25.18), (25.19)).
Таким образом, Ylm (0, ф) - переходит Ъ (— 1)гУ/т(0, ф), т. е. умножается на (—1);, независимо от значения т. Иначе говоря, операция инверсии приводит к умножению волновой функции на +1 при четном / и на —1 при нечетном.
