Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Фо* (Q. х) = г|>0 (Q) [<р? (*) + ф* (х)] = Фtk (Q, х) + Ф0Т(<2, х), (6)
а одна из возможных функций конечного состояния на основании (3') и (5) запишется в виде
фp'.k'iQ, x) = typ’(Q)4>k’(x). (7)
Полная волновая функция в момент времени t может быть вычислена методом, изложенным в §§ 84, 85. Именно, в формуле (84.8) в первой сумме остается лишь одно начальное состояние, так как по предположению в нашей задаче других дискретных уровней нет. Поэтому индекс п в (84.8) теперь имеет смысл двух индексов 0 и как это и написано в (6). Непрерывный индекс а представляет теперь два индекса р' и k\ как это указано в (7). Далее, коэффициенты са, согласно (84.9) и (84.10)1), суть линей-
х) Мы будем опускать индекс (1) у с(1\ дабы избежать громоздких обозначений.
662 ДОПОЛНЕНИЯ
ные функционалы от начальной функции t|)„ (х). Поэтому в решаемой сейчас задаче коэффициенты будут линейными функционалами от Ф,:* и Фп*. Эти соображения позволяют написать полную волновую функцию нашей системы в момент времени t в виде
Ф (Q, х, t) = Ф0 (Q, *) + Ф+(<2, *, 0 + Ф~(<3, *. 0. (8)
где функции Ф+ и Ф- определяются формулой
Ф± (Q, х, t) = ^ c±k, (t) Фр,к, (Q, х) е-« V + е*)( dp dk'. (9) /2
Здесь EP'^=~- есть кинетическая энергия шарика после того,
k'2
как он выброшен из углубления е# ='2ЛГэнергия частицы
после рассеяния. В начальном состоянии эти величины равны соответственно
Е = Ео> Ek~2M~'
Вводя обозначение
Й = ?04- ?k — ЕР' — гь*, (11)
получим, согласно (84.13),
cpk' (0 = Q Wk'\ о, k> (12)
где
г* o-ib’x ±ikx
wp. 0, * = g W* (Q) 7Г~ 6 (Q - X) Фо (Q) -775=- dQ dx. (13)
*¦’ V in у 2я
Выполняя интегрирование по х и замечая, что в области, где гр0 (Q) отлично от нуля, функция qp (Q) аппроксимируется волной Npe~ip'Q, получим после интегрирования по Q компоненту Фурье от ф0 (Q)- Эта компонента принадлежит гармонике с волновым числом, равным q = k'-\-p'±k:
W± = gNptyо [kr + pr ± k). (14)
Для неглубокой и полной ямки ф0(<7) отлично от нуля лишь около <7 = 0, т. е.
kf + p'±k^ 0. (15)
Далее, из закона сохранения, который, конечно, соблюдается
б нашем случае (система консервативная!), имеем
(k'-k)(k’ + k) = 211Е0-^р'\ (16)
откуда для малых ц и больших М следует
(k'-k)(k' + k)^Q. (17)
XIV. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ С МАКРОСКОПИЧЕСКИМ ТЕЛОМ 663
Сопоставляя это с (15), найдем
k' = ±ky p' = ±2k. (18)
Иными словами, микрочастица1 упруго отражается от шарика, передавая ему импульс zh2k, что и следовало ожидать в этом случае. Пользуясь формулами (9), (12) и (14), получаем следующее выражение для волновых функций <&±(Q, хг&-
<D±(Q, лг, = о + е*)' С Np%(p’+k'±k)x
l' 2л
Х ^ (Q) e‘k'X dp’ dk'- (19) Главный вклад в интеграл (19) идет от окрестности резонансной точки Q = 0. В окрестности этой точки имеем
Q = E0 + eb — eit' — Ep + (Ер — Ер-) = ЕР — Ер> =
= Ш = ?Ш~ <Р -P') = V(P~ Р')> (20)
где р есть значение импульса шарика после рассеяния, v — его скорость. Введем теперь новые переменные интегрирования
г = ?2/, |- = -dp\ (21)
q = p'Jrk'±k — k'±k-\-p — -^-, dq = dk’. (22)
После выполнения интегрирований по q и г получим из (19)
<r>±(Q, х, /) =
JL_ е~1 (Ео +е*)‘ -LM-ipo (*) - t(P+*)xf ( , (23)
Y 2я у V vt
где последний множитель равен
+°° . iz
Q — x \ f 1 -*<«-*>
F
vt
)=У-=fLe-*«-»dz. (24)
Этот интеграл есть разность двух разрывных интегралов
W-2S?) = -'(?S2-W(ili5=-C!). (25)
vt j \ vt J \ vt
причем
+'°° eiaZ i ( 2ш, a>0,
(a)= J —dz =
_ 2 \ —2 m, a<i 0.
В силу множителя гр0 (х) функции Ot(Qy х, t) исчезают при т. е. вне ямки. Поэтому проще всего проанализировать
664 ДОПОЛНЕНИЯ
формулу (25), положив там х = 0. Заметим, что для и>0, а для Ф“ у<0. Поэтому, если Q< О, то ф+ = 0, если же vt>Q> 0, то F =— 4ш, наконец, при Q>vt F опять равно нулю. Для функции Ф~ таким же путем получим, что вне интервала vt<Q<iО F == 0.
Построим теперь матрицу плотности для нашего случая:
р (Q, Q', х\ /) = Ф*((Э, х, *)Ф(<7» х\ /). (26)
Сюда следует подставить волновую функцию (8), заимствуя Ф+ и Ф~ из (23). Нетрудно убедиться, что при | Q |, |Q'|->oo все
члены, содержащие множители Ф0(<2, х), исчезают как е 2а2
Q'2
или е 2а2. Далее, интерференционные члены ФЧФ~ исчезнут из-за свойств функции F ^ •"¦”*¦¦¦ j. Поэтому для /->оо и IQI. \Q'\>a получим два неисчезающих члена р (Q, х; Q', х',’ t) =
= Ф+* (Q, х, ()Ф>((?, х\ 0 + Ф~* (Q, х, 0 Ф" (O', х', t). (27)
Таким образом, участие в рассматриваемом явлении макроскопического шарика привело к разрушению когерентности состояний (х) (2). Из свойств функции F ^ следует также, что
при Q, Q'-> со и при t-^oo в (27) остается только первый член, свидетельствующий о том, что шарик покатился направо. При Q, Q' — со остается лишь второй член, т. е. шарик упал налево. Таким образом, рассмотренный детектор действительно различает знак импульса, переданного ему от микрочастицы, и тем самым позволяет осуществить задуманное измерение: определить знак импульса микрочастицы до ее рассеяния.
