Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
6тп=1, если я —/п,
$тп = 0. если пфт.
Системы функций, удовлетворяющие (21.6), мы будем называть ортогональными и нормированными системами функций.
В значительном большинстве случаев, встречающихся в квантовой механике, собственному значению Ln оператора L принадлежит не одна функция i|)„, а несколько собственных функций: ¦ф/гъ 'Флг. •••> 'Фя*, 'Фп/. Такие случаи называются вырож-
денными. Если значению L = Ln принадлежит f собственных функций (f > 1), то говорят о наличии /-кратного вырождения. Физический смысл «вырождения» заключается в том, что какое-нибудь определенное значение величины L — Ьп может быть реализовано в разных состояниях.
Доказанная нами теорема об ортогональности собственных функций относится лишь к функциям, принадлежащим к разным собственным значениям. В случае вырождения функции (k =
= 1,2,...,/) относятся к одному и тому же собственному значению L„:
= *=1, 2, 3......./. (21.8)
Поэтому они не будут, вообще говоря, ортогональными. Однако можно доказать *), что эти функции могут быть всегда выбраны так, что они будут также ортогональны между собою:
ltyTtk'%kdx = $k'k. (21.9)
Поэтому условие (21.6) можно считать всегда выполненным, если под щ и п в общем случае разуметь не один индекс, а всю совокуп-
1) См. дополнение II.
96
ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
ность индексов, характеризующих собственную функцию (например, вместо т — два индекса т и k\ вместо п также два индекса п и k).
В том случае, когда оператор L имеет непрерывные собственные значения, доказанные теоремы непосредственно неприменимы. Однако и в этом случае собственные функции обладают свойствами, аналогичными свойствам функций дискретного спектра.
Собственные функции непрерывного спектра нельзя перенумеровать числами. В этом случае функции зависят от собственного значения L как от параметра, так что мы можем написать
L)> (21.10)
где через л: обозначены переменные, в которых выражен оператор L.
Свойства ортогональности собственных функций непрерывного спектра проще всего могут быть выражены с помощью особого символа б (Ц — L), называемого функцией Дирака или б-ф у н к ц и е й. Эта функция обладает следующими свойствами:
^ / (L') б (L' — L) dL' = 0, если точка L' = L лежит
а вне интервала (а, Ь),
ъ
(Z/)S (Z/ — L) dL' = f (L), если точка L' = L лежит
а внутри интервала (а, 6),
(21.11)
r^e f (L') — любая (достаточно гладкая) функция. Можно доказать *), что функции непрерывного спектра (ху L) могут быть нормированы так, что
$^*(x, L')y>(x, L) dx —8 (L' — L). (21.12)
Это равенство аналогично (21.6), ибо из (21.11) следует, что б (// — L) = 0 всюду, кроме точки L' — L, где б обращается в бесконечность. Таким образом, символ б (Z/ — L) играет ту же роль, что и символ 8тп в случае дискретного спектра.
В математике доказывается, что система собственных функций операторов очень широкого класса является не только системой ортогональных функций, но системой полной.
Это означает, что любую функцию г)? (х), определенную в той же области переменных и подчиненную тому же классу граничных условий, что и собственные функции (х), можно представить в виде ряда по этим собственным функциям:
(21.13)
*) См. дополнение III.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
97
Пользуясь ортогональностью функций мы можем определить коэффициенты сп и таким образом найти ряд, представляющий г|> (х).
Для этого умножим (21.13) на (*) и проинтегрируем по всему пространству
$ (х) i|> (х) dx = ]?cn\$*m (х) (х) dx.
п
В силу ортогональности и нормировки функций 1|з„ интегралы, стоящие под знаком суммы, равны Ьтл (см. (21.6)); таким образом,
$ (•*) ^ (•*) = 2 С'$тп = Ст.
П
Отсюда, меняя обозначение т на п, получаем
Сп — 5 'фп (х) V (х) dx. (21.14)
Таким образом, зная ij) и систему ортогональных функций ^л. мы можём найти все амплитуды сп, встречающиеся в ряде (21.13). Частным случаем таких разложений по ортогональным функциям являются ряды Фурье.
В случае непрерывного спектра имеет место разложение в интеграл, подобный интегралу Фурье. Именно, в этом случае
г|> (х) — ^ с (L) а|) (х, L) dL. (21.15)
Для определения коэффициентов с (L) умножим (21.15) на if* (.х, L') и проинтегрируем по х:
^ (х, L') г|5 (х) dx = \ с (L) dL § ij>* (л, L') а|) (х, L) dx =
— ^c(L)dLb (L' — L) = c(Lr).
Меняя здесь обозначение V. на L, получим окончательно
с (L) = (х, L) г|) (х) dx. (21.16)
^Найденные нами представления любой функции в виде разложений (21.13) и (21.15) по собственным функциям операторов приводят к очень важному выводу: любое состояние, изображаемое волновой функцией г)? (ж), может быть представлено в виде суперпозиции (21.13) или (21.15) состояний, относящихся к определенным значениям какой-либо механической величины. В самом деле, состояния фл или г|> (х, L) по своему определению являются состояниями, в которых некоторая механическая величина L имеет
определенное значение L„ (либо соответственно L). А выражения
(21.13) и (21.15) представляют г|) (х) в виде суммы (либо интеграла) этих частных состояний.
