Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
87
Несколько сложнее определится умножение. Под произведением двух операторов Л и В будем понимать такой оператор С, что
6|> = Л(В^)> (18.11)
т. е. сначала следует подействовать на ф оператором В, а потом на этот результат подействовать оператором А. Если тот же окончательный результат может быть достигнут оператором С, то С и будет произведением А и В. Символически это запишем так:
С = Ав. (18.12)
л. ^ А
Пример \ A = i В = х, тогда
6j> = A{Bty) = i~ (,п|)) = ix\> +
отсюда следует, что
С = i + ix —¦ = i (
Существенно, что произведение операторов зависит от порядка множителей. В приведенном примере имеем
= В (Л>) = ixfx, Т. е. С'= ix ±.
Поэтому, если имеются два оператора А и В, то кроме произведения С можно образовать еще другое произведение:
С'=ЯЛ. (18.12')
Установленные правила позволяют производить с операторами сложение, вычитание и умножение так же, как это делается в обычной алгебре, за исключением одного пункта: вообще говоря, нельзя менять порядка сомножителей. Например,
с = (л-б)(л+в) = А2-ва+Ав-в\
но не А2 —В2.
Такая алгебра, в которой нельзя менять множителей, называется алгеброй не к ом му та тивных величин, а сами величины некоммутативными (неперестановочными) или некоммутирующими.
Если оба произведения С и С' равны
Ав-вА=о, (18.13)
то операторы А п В называются коммутирующими (перестановочными). В противном случае их называют н е к о м-
88
ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. Ill
мутирующими. Оператор Р = АВ — В А называется коммутатором операторов Л и В.
При умножении линейных самосопряженных операторов следует иметь в виду, что произведение их не будет, вообще говоря, также самосопряженным оператором. Именно,
Ав = ^{Ав + вА)-\- \-{Ав-вА). (18.14)
Пользуясь самосопряженностью каждого из операторов А и В, с помощью (18.7) можно доказать, что оператор
(Ав^~вА^) (18.15)
будет самосопряженным, а оператор
G= j{AB-ВА) (18.16)
не будет обладать этим свойством, кроме случая коммутирующих
операторов, когда G = 0. Так как всякий оператор коммутирует
сам с собой, то из сказанного следует, что любая (целая и положительная) степень линейного самосопряженного оператора А:
A^ = AA-...-A, (18.17)
п
будет оператором такого же рода.
Пользуясь изложенными правилами, мы можем, исходя из известных нам операторов проекций импульса РХ9 РУ9 Р2 (18.3) и операторов координат частицы х, у, г построить более сложные лннеиные и самосопряженные операторы L.
§ 19. Общая формула для среднего значения величины и для среднего квадратичного отклонения
Основная идея применения операторов в квантовой механике заключается в том, что каждой механической величине L в квантовой механике сопоставляется изображающий ее линейный самосопряженный оператор L.
Символически это запишем так:
L->L.
Вопрос о том, какую именно физическую величину изображает тот или иной оператор, решается свойствами этой величины и способами ее наблюдения. В тех случаях, когда изображаемая оператором L квантовая величина обладает свойствами, аналогичными
§ 19] СРЕДНЯЯ ВЕЛИЧИНА И КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ 89
свойствам некоторой классической величины L, для обеих величин употребляют одно и то же название.
Например, если имеется классическая величина L — функция импульсов и координат L = L(pXl ру, pz, х, у, г), то линейный и самосопряженный оператор L, построенный по правилам предыдущего параграфа из операторов проекций импульса Pv, Руу Pz и операторов координат х, у, z, будет равен
L = L(Px, Ру, Рг, х, у, г).
Самосопряженный оператор L будет изображать квантовую величину со свойствами, аналогичными классической величине L (рх,
Ру, Pz, х, у, г) *).
Разумеется, не все линейные и самосопряженные операторы,
образованные из Рх, Ру, Pz и х, у, -г, будут изображать величины, имеющие простой физический смысл и подчиняющиеся простым законам. Так же обстоит дело и в классической теории. Так, вели-Р2
чина ~ имеет смысл кинетическои энергии и подчиняется закону
сохранения (в отсутствие внешних сил), величина же рх3 не имеет какого-либо общего правила поведения и поэтому не играет никакой роли в механике.
Связь между операторами и измеряемыми величинами устанавливается в помощью формулы для среднего значения величины L в ансамбле, описываемом волновой функцией г|^_Именно, в квантовой механике принимают, что среднее значение L величины L, изображаемой линейным и самосопряженным оператором L в чистом ансамбле, описываемом функцией г|э, определяется формулой
Z = \^*hfdx, (19.1)
гле под dx подразумевается элемент объема в пространстве независимых переменных и интеграл взят по всей области изменения этих переменных. Ясно, что наши прежние определения (18.1) и (18.2) являются частным случаем (19.1). Чтобы получить (18.1) из (19.1), следует положить L = F(x, //, г), а под dx считать dx, dy, dz. Чтобы получить (18.2), следует положить
^ = F (— lfi ~дх ’ — ~1^~дг
Па основании свойства самосопряженности оператора L, мы можем написать (19.1) в эквивалентной форме
L^^L*y*dx (19.Г)
А) Поскольку волновая функция рассматривается как функция координат частицы л', у, г, постольку действие «операторов» х, у, г сводится просто к умножению функции на х, у, г, действие оператора F (х, у, г) — к умножению на (*, у у г).
