Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
лений группы Z. Отметим, что имеется (2Ni) • (2N2) ¦ (2N3) таких
представлений, задаваемых выбором р\, р2 и р3. Это число совпадает с числом элементов и классов группы ?. Поэтому (22.9) действительно дает все неприводимые представления группы
§ 23. Волновой вектор. Первая зона Бриллюэна
Рассмотрим теперь элемент группы ?
{е = (е I h&\ 4" 4~ ^з®з}- (23.1)
В представлении D(h) ему соответствует матрица
DW({s\RL}) = exp-ik-RL, (23.2)
где полный волновой вектор k определяется равенством k Л2+*з = 2Я (^-) Ь, + 2я Ь2 + 2я (-$_) Ь3, (23.3К
Неприводимые представления группы трансляций 73
а Ри Р2> Рг выбраны согласно (21.5), (22.2) и (22.3). В явном виде
k • Ri = tiki • й\ -f- l2k2 • и2 -f- /3&3 • Сз, (23.4)
где tj — целые числа, или
Рассмотрим два волновых вектора k и k', где
k' = k + 2nBH. (23.6)
Легко убедиться, что если D(ft) дается формулой (23.2), то ?><*'> ({е I Rl}) = exp — ik' • RL — exp — i(k ¦ RL + 2kBh • Rt). (23.7) Ho
2nBh • Ri = 2я (hili -f- h2l2 + h3l3), (23.8)
где все hj и /у — целые числа. Следовательно,
DW ({в IRL}) = exp - ik' • Rl = D(‘)({e I JfjJ). (23.9)
Таким образом, если k и k' — два волновых вектора, связанных соотношением (23.6), то они определяют одно и то же неприводимое представление группы ?. Заметим также соответствие этого вывода с выводом, следующим из (20.7). Сформулируем результат. Набор всех векторов k в обратной решетке, где k = ki -f- k2 -f- кз и
— я61^й1<я6ь —nb2^k2 <. nb2, —я&з^й3<я&3, (23.10j
определяет набор всех неприводимых представлений Dlk) группы ?. Этот набор всех независимых векторов k в обратной решетке заполняет объем и поверхность полиэдрической ячейки, находящейся в начале координат обратной решетки. Определенная таким образом ячейка в форме'многогранника называется первой зоной Бриллюэна кристалла [26]. Она имеет полную симметрию точечной группы пространственной группы. Поэтому первая зона Бриллюэна содержит все векторы k, удовлетворяющие неравенствам (23.10). Однако из двух векторов k и k', удовлетворяющих (23.6), только один должен быть включен в эту зону.
Можно дать и другое определение первой зоны Бриллюэна, лучше согласующееся с общепринятыми трактовками математической кристаллографии. Согласно Шенфлису, основную ячейку
74
Глава 4
кристалла можно определить путем следующего геометрического построения. Построим векторы, выходящие из начала координат к первым, вторым и т. д. соседним с началом координат атомам. Построим плоскости, пересекающие перпендикулярно середины этих векторов. Геометрическое место точек, расположенных на поверхности и внутри области, ограниченной этими плоскостями, определяет область в пространстве, известную как основная ячейка Шенфлиса. Эта ячейка обладает симметрией точечной группы кристалла. Если последовательно смещать эту ячейку из начала координат на векторы решетки, оказывается, что ячейки образуют плотную упаковку, заполняя пространство без промежутков. Ячейка Шенфлиса является трехмерным решением задачи Гильберта о возможных неэквивалентных способах заполнения трехмерного пространства многогранниками. На несколько лет позднее Шенфлиса ячейка в форме многогранника и ее свойства были заново открыты Вигнером и Зейцем [27]. Эту ячейку часто называют многогранником Вигнера — Зейца.
Отметим, что для построения зоны Бриллюэна или ячейки обратного пространства методом Шенфлиса следует прежде всего видоизменить обратную решетку, построенную на векторах обратной решетки (21.3). Рассмотрим пространственную решетку, определенную векторами
2 лВн — 2ji/ji&i + 2я/г2&2 + 2nhjb3. (23.11)
Видоизменение тривиальным образом сводится к умножению всех векторов обратной решетки на 2л. Следуя Эвальду, будем называть решетку, заданную конечными точками векторов 2лВн, решеткой Фурье. Тогда первая зона Бриллюэна получается путем построения Шенфлиса в решетке Фурье.
Набор из (2A^i) • (2N2) • (2Ns) точек ^-пространства в первой зоне Бриллюэна определяет полный набор неприводимых представлений группы 2.
С другой стороны, первую зону Бриллюэна можно определить как набор из (2A^i) • (2N2) ¦ (2N3) точек ft-пространства, задающих полный набор неприводимых представлений группы $. При использовании последнего определения [28] нет необходимости считать, что все точки первой зоны Бриллюэна заключены в замкнутом многограннике. Единственное ограничение на значения k состоит в том, что из совокупностей k\, klt ..., удовлетворяющих (23.6), следует использовать только одну. Так, например, согласно общепринятому определению зоны Бриллюэна, следует считать принадлежащей этой зоне только одну из пары то^ек, находящихся на противоположных _ гранях зоны. Вторая оказывается лишней; выбор одной точки из пары произволен.
Неприводимые представления группы трансляций 75
§ 24. Условия полноты и ортонормированности для представлений
Проверим теперь соотношения полноты и ортонормированности (15.7) — (15.9), используя неприводимые представления в пространстве блоховских векторов Заметим, что в
записи (15.7) — (15.9) эти соотношения относятся ко всей группе @. При использовании их для Ж следует положить gp = 1.
