Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
/)(**) (т) __
n(kl)(m) n(ks
и и . . . и JS
(т)
/)(*l) (т)
us\
?}(ks) (т)
(33.1)
для каждой матрицы представления. В частности, для любого элемента группы 2 матрица (33.1) диагональна, так что
?>(**> <»> ({е | = (/?<%> <»> ({е | Rl})\^ =
= Пт (exp — ik^ • Rd бцу. (33.2)
где Пт — единичная матрица с размерами (/Ш Х Ап). Рассмотрим теперь тождество
(33.3)
88
Глава 5
Для представления (33.1) имеем D(*ft) (m) ({е | tfL}) D(*av) <m> ({фх 11 (ф,)}) =
= D(**> («) ({Ф, | * (ф,)}) D(>) о») ({e | фГ> • /?,}). (33.4)
Рассмотрим блочный матричный элемент jxv матрицы (33.4) и используем (33.2):
D< V (*> ({е | /??})№D(ftv) (») ({фх | * (ф,)}^ =
= D(av) (*> ({Фх | / (Ф0})^(^ (т) ({«I ФГ5 • *l})w (33-5)
При фиксированном (но произвольном) {фх| ^(фх.)} это равенство выполняется для всех элементов {e|/?l} группы ?. Все матрицы в (33.5) порядка 1т. Далее, согласно (33.2), для (33.5) имеем
(ехр - • Ri) (fe 11 (ft)}),, =
= I * «})„, («Р - ‘K ¦ (K1 ¦ »,))¦ (33.6)
Из (33.6) следует
oW("'({ftl<W}V« = o (33.7)
для всех случаев, кроме случая
К — Ф ffth + 2л В и, (33.8)
т. е. если сопряженные неприводимые представления (т)
и (m) группы ? не являются эквивалентными. Но для каж-
дого (г равенство (33.8) может выполняться только при одном значении kv, так как волновые векторы звезды (32.10) по определению неэквивалентны. Как следует из определения kv через канонический волновой вектор ft и из групповых свойств операторов фЬ это значение единственно.
Равенство (33.7), очевидно, показывает, что в блочном разложении (33.1) в каждой строке и столбце отличен от нуля только один блочный матричный элемент. Далее, блочная форма полного представления показывает, что диагональные теперь матрицы представления ?>(*») (т) осуществляют перестановку /i-мерных подпространств друг с другом.
Резюмируем: блочно-диагональная форма соответ-
ствующая порядку перечисления подпространств (32.11), имеет
Неприводимые представления пространственных групп 89
ВИД
({е j ... О ... О
или, более точно,
Пт ехр — /й, • /?L О
(33.9)
О
Пт exp — /&v • /?i
Пт exp — iks • Rl
(33.10)
где Пт — единичная матрица порядка lm. Кроме того, для произвольного оператора группы © в этом представлении имеем
Д(**)(Ш)(Ы*Ы})==
о ... о о
о !
JJ.V
?>(**,) (т) | f ((pj})u
(33.11)
Пространством представления является пространство
2(**) (m)t состоящее из s ортогональных подпространств [см.
(32.11)].
90
Глава 5
§ 34. Группа ®(fc) канонического вектора к
Рассматривая неприводимое представление^**^(т) в целом, найдем, что некоторые из матриц типа (33.10), (33.11) имеют отличные от нуля блочные матричные элементы с'ц = 1, v= 1. Для таких матриц подпространство s(ftl)(m> является инвариантным. Это означает, что представляемый такими матрицами оператор P{<tK 11 (фл)} диагонален в подпространстве 2(*l) (m). В соответствии с нашими обозначениями в (33.1) имеем
Р{*х I ‘ (**)} 2<А,) (m> = {т)°(к1) <т)({*Гх \* (Ф0})п- <34-!)
Изучим сначала этот класс операторбв.
Ясно, что (34.1) применимо для всех операторов группы ?. Может оказаться, что других операторов, обладающих этими свойствами, в группе © нет.
Однако из (30.12) следует
(34-2>
где
— (34.3)
В (34.2) и (34.3) пространство S**1' образовано одним блохов-ским вектором ip**1*. Тогда, если, как в (30.7),
Фя, • == + 2яВн, (34.4)
то k\ и k\\ задают эквивалентные неприводимые представления группы ?. Если выполняется (34.4), то все /^-мерное пространство, состоящее из 1т линейно-независимых совокупностей
(29.5), каждая из которых имеет волновой вектор к\, будет инвариантным относительно действия этого оператора Если (34.4) выполняется для поворотной части ф^ оператора {фх|тх}, то это же свойство имеет и любая степень этого оператора.
Пусть {ф^Тц}—другой оператор, такой, что
\-к1 = к1 + 2яВ'(1> (34.5)
где В'н — вектор обратной решетки, возможно отличный от Вн из (34.4). Тогда степени этого оператора также обладают таким свойством.
Наконец, все произведения {фх | т^} • {фц|тц}> а также степени и произведения таких операторов, тоже обладают свойством переводить к\ в эквивалентный волновой вектор.
Таким способом можно перечислить набор операторов
J ч } каждый из которых при действии на отдельный бло-
Неприводимые представления пространственных групп 91
ховский вектор переводит этот вектор в эквивалентный блохов-ский вектор:
Р (34‘6) Совокупность всех таких операторов, очевидно, образует группу ®(k), называемую пространственной группой волнового вектора k. Группа ®(k) представляет собой подгруппу группы ®. Она может быть разложена на смежные классы по Р?, где Р% —группа операторов, действующих на функции, изоморфная группе &:
®(*) = Р? + ... -f P{(P/J<(%J}Pa + ... + P{VKlt{Vl)fz. (34.7)
Ясно, что для каждого оператора из (34,7) /^-мерное пространство является замкнутым.
Тогда набор матриц (m) ({ч\ | т**,})ц [являющихся, согласно (33.1), /т-мерными матричными компонентами D^*h^(m)] задает представление группы ®{k) из (34.7). Важно понимать, однако, что это представление не является представлением общего вида, но построено на базисе инвариантного пространства S(ftl) (m), так что в этом представлении
